Kruskal 重构树学习笔记

Kruskal 重构树

回忆 $\mathrm{Kruskal}$ 算法求最小生成树的过程，将所有边按边权排序，然后从小到大合并。若两个点不直接合并，而是新建一个虚点 $z$ ，连 $z \to x$ 和 $z \to y$ ，就形成了一棵 $\mathrm{Kruskal}$ 重构树 。

$\mathrm{Kruskal}$ 重构树有一些性质：

树为二叉树。
原图的所有结点为树的叶子结点。
若边按边权从小到大排序，则父结点点权 $\ge$ 根结点点权；反之亦然。
结点 $u$ 在原图中所有经过边权 $\le d$ 的边能到达的点，就是它在按边权从小到大排序得到的重构树上最浅的，点权 $\le d$ 的祖先 $v$ 的子树内的所有叶子结点。

因此可以得出一个套路：如果题目有类似经过权值 $\le d$ 或 $\ge d$ 的点或边的限制，就可以考虑使用 $\mathrm{Kruskal}$ 重构树 。

若要处理经过点权 $\le d$ 或 $\ge d$ 的点的限制，则需要为边赋值。例如，若限制经过点权 $\le d$ ，则经过边 $u \leftrightarrow v$ 需要满足 $u,v$ 两个点的点权均 $\le d$ ，因此边权为 $\min(a_u,a_v)$ 。

有些题目既限制了权值 $\min$ 也限制了权值 $\max$ ，可以按边权从小到大和从大到小建两棵 $\mathrm{Kruskal}$ 重构树，并根据 $\min$ 和 $\max$ 倍增到相应的祖先结点，问题就转化成了两棵子树交。记 $a,b$ 分别为两棵树的 $\mathrm{dfs}$ 序，则问题为满足 $i \in [l_1,r_1]$ ， $j \in [l_2,r_2]$ 且 $a_i = b_j$ 的 $i,j$ 数量。设 $c_i$ 为 $b_i$ 在 $a$ 中出现的下标，问题即求 $c_i \in [l_1,r_1]$ ， $i \in [l_2,r_2]$ 的 $i$ 的数量。二维偏序，可以在线主席树或者离线树状数组+扫描线求解。