Kruskal 重构树学习笔记

Kruskal 重构树

回忆 \(\mathrm{Kruskal}\) 算法求最小生成树的过程，将所有边按边权排序，然后从小到大合并。若两个点不直接合并，而是新建一个虚点 \(z\)，连 \(z \to x\) 和 \(z \to y\)，就形成了一棵 \(\mathrm{Kruskal}\) 重构树 。

\(\mathrm{Kruskal}\) 重构树有一些性质：

1. 树为二叉树。
2. 原图的所有结点为树的叶子结点。
3. 若边按边权从小到大排序，则父结点点权 \(\ge\) 根结点点权；反之亦然。
4. 结点 \(u\) 在原图中所有经过边权 \(\le d\) 的边能到达的点，就是它在按边权从小到大排序得到的重构树上最浅的，点权 \(\le d\) 的祖先 \(v\) 的子树内的所有叶子结点。

因此可以得出一个套路：如果题目有类似经过权值 \(\le d\) 或 \(\ge d\) 的点或边的限制，就可以考虑使用 \(\mathrm{Kruskal}\) 重构树 。

若要处理经过点权 \(\le d\) 或 \(\ge d\) 的点的限制，则需要为边赋值。例如，若限制经过点权 \(\le d\)，则经过边 \(u \leftrightarrow v\) 需要满足 \(u,v\) 两个点的点权均 \(\le d\)，因此边权为 \(\min(a_u,a_v)\)。

有些题目既限制了权值 \(\min\) 也限制了权值 \(\max\)，可以按边权从小到大和从大到小建两棵 \(\mathrm{Kruskal}\) 重构树，并根据 \(\min\) 和 \(\max\) 倍增到相应的祖先结点，问题就转化成了两棵子树交。记 \(a,b\) 分别为两棵树的 \(\mathrm{dfs}\) 序，则问题为满足 \(i \in [l_1,r_1]\)，\(j \in [l_2,r_2]\) 且 \(a_i = b_j\) 的 \(i,j\) 数量。设 \(c_i\) 为 \(b_i\) 在 \(a\) 中出现的下标，问题即求 \(c_i \in [l_1,r_1]\)，\(i \in [l_2,r_2]\) 的 \(i\) 的数量。二维偏序，可以在线主席树或者离线树状数组+扫描线求解。

参考：简单树论 by Alex_Wei