洛谷 P4198 楼房重建

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一道线段树维护区间前缀最大值个数的好题。

思路

易得连接 $(0,0),(i,H_i)$ 的线段斜率为 $s_i = \frac{H_i}{i}$。则题要求的就是满足 $i \in [1,n], s_i > \max\limits_{j=1}^{i-1} s_j$ 的 $i$ 的个数。考虑线段树维护。

线段树上每个结点维护当前区间 $[l,r]$ 的斜率 $\max$ 和只考虑 $[l,r]$ 的前缀最大值个数 $cnt$，即不考虑 $[1,l-1]$ 对 $[l,r]$ 的影响。$\max$ pushup 是很容易的，对左、右儿子取 $\max$ 即可。考虑 $cnt$ 怎么 pushup。

引入一个新函数 calc(rt, l, r, x)，它返回区间 $[l,r]$ 内，假设 $[1,l-1]$ 的前缀最大值为 $x$，$[l,r]$ 内的 $cnt$。

• 当 $rt$ 为叶子结点，若 $x < s_i$ 返回 $1$，否则返回 $0$。显然。
• 当 $rt$ 为非叶子结点，考虑左右子树两部分贡献分别计算。若 $x < \max_{ls}$，则左子树的贡献为 calc(ls, l, mid, x)，右子树的贡献为 $cnt_{rt} - cnt_{ls}$。因为在右子树中相当于前缀 $\max$ 为左子树的 $\max$，因此 $cnt$ 的贡献直接相减即可得到。若 $x \ge \max_{ls}$，则左子树的贡献为 $0$，右子树的贡献为 calc(rs, mid + 1, r, x)。

现在可以回头解决 pushup 的问题了：$cnt_{rt} = cnt_{ls_{rt}} + \operatorname{calc}(rs,mid+1,r,\max_{ls})$。左子树的 $cnt$ 可以直接继承，因为左子树的区间为当前子树的区间的前缀；右子树的 $cnt$ 就利用 $\mathrm{calc}$ 计算。由于是只考虑 $[l,r]$ 区间的，所以 $x$ 设为 $\max_{ls}$ 就行。

时间复杂度 $O(m \log^2 n)$。

代码

code

/*
 
p_b_p_b txdy
AThousandMoon txdy
AThousandSuns txdy
hxy txdy
 
*/
 
#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define fst first
#define scd second
 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;
 
const int maxn = 100100;
 
ll n, m, a[maxn];
 
struct treenode {
	ldb mx;
	int cnt;
} tree[maxn << 2];
 
int calc(int rt, int l, int r, ldb x) {
	if (l == r) {
		return (x < (ldb)a[l] / l ? 1 : 0);
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x < tree[rt << 1].mx) {
		return calc(rt << 1, l, mid, x) + tree[rt].cnt - tree[rt << 1].cnt;
	} else {
		return calc(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x);
	}
}
 
void pushup(int x, int l, int r) {
	int mid = (l + r) >> 1;
	tree[x].mx = max(tree[x << 1].mx, tree[x << 1 | 1].mx);
	tree[x].cnt = tree[x << 1].cnt + calc(x << 1 | 1, mid + 1, r, tree[x << 1].mx);
}
 
void update(int rt, int l, int r, int x) {
	if (l == r) {
		tree[rt].mx = (ldb)a[l] / l;
		tree[rt].cnt = 1;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) {
		update(rt << 1, l, mid, x);
	} else {
		update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x);
	}
	pushup(rt, l, r);
}
 
void solve() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	while (m--) {
		ll x, y;
		scanf("%lld%lld", &x, &y);
		a[x] = y;
		update(1, 1, n, x);
		printf("%d\n", tree[1].cnt);
	}
}
 
int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}