随笔分类 - 生成函数

square869120Contest #3 G Sum of Fibonacci Sequence

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门特判

n = 1

$n = 1$ 。将

n, m

$n, m$ 都减

1

$1$ ，答案即为

[x^{m}] \frac{1}{(1 - x - x^{2}) (1 - x)^{n}}

$[x^m]\frac{1}{(1 - x - x^2)(1 - x)^n}$ 若能把这个分式拆成 \(\frac{A(x)}{(1 - x)^n} + \frac{B(x)}{1 - 阅读全文

posted @ 2024-06-15 14:24 zltzlt 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 318 Ex Count Strong Test Cases

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门首先做一些初步的观察：A 和 B 的解法是对称的，所以 A 对的方案数等于 B 对的方案数。同时若 A 和 B 同时对则每个置换环环长为

1

$1$ ，方案数为

n!

$n!$ 。所以，若设 A 对的方案数为

x

$x$ ，那么答案为 \(n!^2 - (x - n!) 阅读全文

posted @ 2024-05-10 12:42 zltzlt 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 241 Ex Card Deck Score

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门答案即为：

\sum_{c} \prod_{i = 1}^{n} [c_{i} \leq b_{i}] a_{i}^{c_{i}}

$\sum\limits_c \prod\limits_{i = 1}^n [c_i \le b_i] a_i^{c_i}$ 考虑生成函数，设

F_{i} (x) = \sum_{j = 0}^{b_{i}} (a_{i} x)^{j}

$F_i(x) = \sum\limits_{j = 0}^{b_i} (a_i x)^j$ 。那么答阅读全文

posted @ 2024-05-09 14:23 zltzlt 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

分拆数

摘要：考虑分拆数的生成函数

\prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 - x^{i}}

$\prod\limits_{i = 1}^n \frac{1}{1 - x^i}$ 。研究分母，相当于是互异分拆数，奇数个数被统计

- 1

$-1$ 次，偶数个数被统计

1

$1$ 次。考虑 Ferrers 图，发现在大部分情况下互异奇数分拆数和互异偶数分拆数可以互相转换。阅读全文

posted @ 2024-04-26 13:48 zltzlt 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 281 Ex Alchemy

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc281_h "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc281/tasks/abc281_h "AtCoder 传送门") 考虑设

f_{i}

$f_i$ 阅读全文

posted @ 2023-06-05 20:22 zltzlt 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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