容斥 - 随笔分类 - zltzlt

摘要：洛谷传送门 CF 传送门求出

p

$p$ 的原根

g

$g$ ，对每个

a_{i}

$a_i$ 求出一个

x_{i}

$x_i$ 表示

g^{x_{i}} \equiv a_{i} (\mod p)

$g^{x_i} \equiv a_i \pmod {p}$ （这部分可以 BSGS）。之后的表述中

a_{i}

$a_i$ 指

x_{i}

$x_i$ 。那么集合生成方式相当于初始 \(c = 阅读全文

posted @ 2024-08-20 22:10 zltzlt 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1936E Yet Yet Another Permutation Problem

摘要：洛谷传送门 CF 传送门首先设

a_{i} = {max}_{j = 1}^{i} p_{j}

$a_i = \max\limits_{j = 1}^i p_j$ ，

b_{i} = {max}_{j = 1}^{i} q_{j}

$b_i = \max\limits_{j = 1}^i q_j$ 。直接容斥，钦定有多少值不同的

a_{i}

$a_i$ 使得

a_{i} = b_{i}

$a_i = b_i$ 。然后再把钦定的每种值转化成每种值第一次使阅读全文

posted @ 2024-03-26 22:08 zltzlt 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1943D2 Counting Is Fun (Hard Version)

摘要：洛谷传送门 CF 传送门被自己的赛时智障操作气笑了。谁告诉你容斥钦定了几个要记到状态里面的。。。/tuu 显然先找“好数组”的充要条件。对原数组

a

$a$ 差分，设

b_{i} = a_{i} - a_{i - 1}

$b_i = a_i - a_{i - 1}$ 。那么一次可以选择一对

(i, j)

$(i, j)$ 满足 \(i \le j - 2\ 阅读全文

posted @ 2024-03-18 12:59 zltzlt 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ2834 「JOISC 2018 Day 2」修行

摘要：LOJ 传送门考虑若已求出钦定

k

$k$ 个升高的排列数量

f_{k}

$f_k$ ，那么二项式反演就可以求出恰好

k

$k$ 个升高的排列数量

g_{k}

$g_k$ ，即：

g_{k} = \sum_{i = k}^{n} (- 1)^{i - k} (\binom{i}{k}) f_{i}

$g_k = \sum\limits_{i = k}^n (-1)^{i - k} \binom{i}{k} f_i$ 考虑求 \(f 阅读全文

posted @ 2024-02-20 18:16 zltzlt 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1667E Centroid Probabilities

摘要：洛谷传送门 CF 传送门首先需要了解重心的三种定义：删掉一个点后剩下子树大小

\leq \frac{n}{2}

$\le \frac{n}{2}$ 的点

\sum_{i = 1}^{n} dis (u, i)

$\sum\limits_{i = 1}^n \text{dis}(u, i)$ 最小的点最深的 \(sz_u \ge \left\lceil\frac{n}{2}\ 阅读全文

posted @ 2024-01-25 11:11 zltzlt 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1466H Finding satisfactory solutions

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑给定

b

$b$ 如何构造

a

$a$ 。拎出基环树的环部分，把这些点连同它们的边删掉（这个环一定在答案中）。递归做即可。考虑我们在

a

$a$ 的环上连一些在

{b_{i, n}}

$\{b_{i, n}\}$ 中排得比

a_{i}

$a_i$ 前的

i \to j

$i \to j$ 。可以将问题转化为阅读全文

posted @ 2024-01-18 17:52 zltzlt 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1909F2 Small Permutation Problem (Hard Version)

摘要：洛谷传送门 CF 传送门感觉这个题还是挺不错的。考虑 F1。考察

a_{i}

$a_i$ 差分后的意义，发现

a_{i} - a_{i - 1}

$a_i - a_{i - 1}$ 就是

(\sum_{j = 1}^{i - 1} [p_{j} = i]) + p_{i} \leq i

$(\sum\limits_{j = 1}^{i - 1} [p_j = i]) + p_i \le i$ 。考虑将其转化为棋盘问题。在 \(( 阅读全文

posted @ 2023-12-24 11:55 zltzlt 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 040 F Two Pieces

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门第二道问号题。设

A \geq B

$A \ge B$ 。我们现在将点的坐标刻画到二维平面上。相当于找到一条

(0, 0) \to (A, B)

$(0, 0) \to (A, B)$ 的路径，要求不能跨过直线

y = x

$y = x$ 。有

3

$3$ 种移动方式：向右移动一格。向上移动一格。将当前点提到直线阅读全文

posted @ 2023-12-15 08:32 zltzlt 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ3405 「2020-2021 集训队作业」Gem Island 2

摘要：LOJ 传送门组合计数神题。下文的

m

$m$ 指原题面中的

d

$d$ ，

k

$k$ 指原题面中的

r

$r$ 。考虑最后每个人得到的宝石数量的序列

s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}

$s_1, s_2, \ldots, s_n$ ，考虑这种方案的出现次数。首先要在

m

$m$ 次操作中分别选

s_{i} - 1

$s_i - 1$ 次给第 \ 阅读全文

posted @ 2023-12-05 08:48 zltzlt 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 331 G Collect Them All

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门设数字

i

$i$ 第一次拿到的时间为

t_{i}

$t_i$ ，所求即为

E ({max}_{i = 1}^{m} t_{i})

$E(\max\limits_{i = 1}^m t_i)$ 。施 min-max 容斥，有： \[\begin{aligned}E(\max\limits_{i = 1}^m t_i) & = 阅读全文

posted @ 2023-12-04 17:14 zltzlt 阅读(97) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1900D Small GCD

摘要：洛谷传送门 CF 传送门不是很懂官方题解在干嘛。设

g_{x}

$g_x$ 为满足

x ∣ f (a_{i}, a_{j}, a_{k})

$x \mid f(a_i, a_j, a_k)$ 且

i, j, k

$i, j, k$ 两两不同的所有无序三元组的个数。则容易容斥求出

h_{x}

$h_x$ 为

x = f (a_{i}, a_{j}, a_{k})

$x = f(a_i, a_j, a_k)$ 的个数。答案即为阅读全文

posted @ 2023-11-30 21:15 zltzlt 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1895F Fancy Arrays

摘要：洛谷传送门 CF 传送门看到题目感觉很怪，没有什么很好的直接做的办法。于是考虑容斥，

min a_{i} \leq x + k - 1

$\min a_i \le x + k - 1$ 的方案数减去

max a_{i} < x

$\max a_i < x$ 的方案数即为答案。前者的方案数是好算的。注意到只要确定了

min a_{i}

$\min a_i$ 和差分数组 \(a_i - 阅读全文

posted @ 2023-11-15 19:19 zltzlt 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P6662 [POI 2019] Przedszkole

摘要：洛谷传送门

k

$k$ 染色问题。给定

n

$n$ 个点

m

$m$ 条边无向图，求有多少种给每个点赋点权

a_{u} \in [1, k]

$a_u \in [1, k]$ 的方案，使得

\forall (u, v) \in E, a_{u} \neq a_{v}

$\forall (u, v) \in E, a_u \ne a_v$ 。 Subtask

1

$1$ ：

n \leq 15

$n \le 15$ 。考虑因阅读全文

posted @ 2023-11-14 15:25 zltzlt 阅读(100) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 216 H Random Robots

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门下文令

n

$n$ 为原题中的

K

$K$ ，

m

$m$ 为原题中的

N

$N$ 。首先概率转方案数，最后除

2^{n m}

$2^{nm}$ 即可。考虑一个指数级暴力：枚举每个 bot 的终点

y_{i}

$y_i$ （因为存在不能相交的限制，需要满足 \(y_1 < y_2 < \ 阅读全文

posted @ 2023-10-27 10:34 zltzlt 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2021 路径交点

摘要：洛谷传送门 LOJ 传送门两条路径的交点数量只和起点数量有关。容易发现是终点排列的逆序对数的奇偶性。求一个

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 表示从第

1

$1$ 层的第

i

$i$ 个点到第

k

$k$ 层的第

j

$j$ 个点的路径数量，对这个矩阵求行列式即可。对于相交的路径数不用考虑，因为总存在和阅读全文

posted @ 2023-10-27 08:24 zltzlt 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 180 F Unbranched

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门首先进行一个容斥，把连通块最大值

= K

$= K$ 变成

\leq K

$\le K$ 的方案数减去

\leq K - 1

$\le K - 1$ 的方案数。考虑 dp，设

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 表示当前用了

i

$i$ 个点，

j

$j$ 条边。转移即枚举其中一个连通块的大小

k

$k$ 阅读全文

posted @ 2023-10-16 13:57 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 036 F Square Constraints

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门本质是

p_{i} \in [l_{i}, r_{i}]

$p_i \in [l_i, r_i]$ 的计数问题。当

1 \leq i \leq n

$1 \le i \le n$ 时，

l_{i}

$l_i$ 才可能不等于

1

$1$ 。考虑容斥，设钦定

m

$m$ 个不满足条件（上界为

l_{i} - 1

$l_i - 1$ ），其余任意（上界为

r_{i}

$r_i$ 阅读全文

posted @ 2023-10-03 21:36 zltzlt 阅读(4) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 288 Ex A Nameless Counting Problem

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门考虑到规定单调不降比较难搞。先设

g_{t}

$g_t$ 为长度为

t

$t$ 的满足条件的序列个数（可重且有顺序）。求这个可以设个 dp，

f_{d, i}

$f_{d, i}$ 表示考虑到从高到低第

d

$d$ 位，当前

t

$t$ 个数中有

i

$i$ 个仍然顶上界，并且之前的位都阅读全文

posted @ 2023-10-03 18:13 zltzlt 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Gym 103428B Subset

摘要：CF 传送门首先考虑没有选出的数互不相同的限制。设

f_{m}

$f_m$ 为选出

m

$m$ 个

\in [0, n]

$\in [0, n]$ 的数，异或

popcount = k

$\text{popcount} = k$ 的方案数。可以考虑枚举这

m

$m$ 个数和

n

$n$ 的

LCP

$\text{LCP}$ （要求后一位为

1

$1$ 阅读全文

posted @ 2023-10-02 22:06 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1863G Swaps

摘要：洛谷传送门 CF 传送门看到

a_{a_{i}}

$a_{a_i}$ 和

a_{i} \in [1, n]

$a_i \in [1, n]$ ，果断连边

i \to a_{i}

$i \to a_i$ ，得到内向基环森林。那么每次相当于把

a_{i}

$a_i$ 变成自环，连边

i \to a_{a_{i}}

$i \to a_{a_i}$ 。但是每次操作都改变图的形态很不好办，考虑打标记。每次阅读全文

posted @ 2023-09-17 19:46 zltzlt 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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