概率/期望 - 随笔分类 - zltzlt

CodeForces 1951G Clacking Balls

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑用相邻两个球之间的距离来描述一个状态。设距离序列为

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

$a_1, a_2, \ldots, a_k$ （忽略

0

$0$ ）。考虑鞅与停时定理，设一个状态的势能为

\sum_{i = 1}^{k} f (a_{i})

$\sum\limits_{i = 1}^k f(a_i)$ ，一次操作能使得势能期望减少

1

$1$ 。阅读全文

posted @ 2024-04-16 14:01 zltzlt 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

鞅与停时定理

摘要：好高妙！大致思想是给每个局面构造一个势能函数

F (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

$F(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ ，使得

\sum E (F (a_{1}^{'}, a_{2}^{'}, \dots, a_{n}^{'})) - E (F (a_{1}, a_{2}, \dots, n)) = - 1

$\sum E(F(a'_1, a'_2, \ldots, a'_n)) - E(F(a_1, a_2, \ldots, n)) = -1$ ，其中

a^{'}

$a'$ 取遍

a

$a$ 的后阅读全文

posted @ 2024-02-26 21:41 zltzlt 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1924E Paper Cutting Again

摘要：洛谷传送门 CF 传送门印度出题人玩原神玩的吧？？？考虑计算每条折线被选的概率。考虑相当于是有一个

1 \sim n + m - 2

$1 \sim n + m - 2$ 的排列

p

$p$ ，然后一条

x = i

$x = i$ 的直线被选且不是最后一个被选的，当且仅当它在

p

$p$ 中排在 \(x = 1 \sim i - 1\ 阅读全文

posted @ 2024-01-28 22:00 zltzlt 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1864H Asterism Stream

摘要：洛谷传送门 CF 传送门好题。考虑计算

x

$x$ 落在

[1, n - 1]

$[1, n - 1]$ 的概率。设

f_{i}

$f_i$ 为

x

$x$ 经过

i

$i$ 的概率，答案即为

\sum_{i = 1}^{n - 1} f_{i}

$\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} f_i$ 。

f

$f$ 有一个朴素的递推： \[f_i = \be 阅读全文

posted @ 2023-10-04 16:50 zltzlt 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 058 F Authentic Tree DP

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门人生中第一道 AtCoder 问号题。设

P = 998244353

$P = 998244353$ 。注意到

f (T)

$f(T)$ 的定义式中，

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ 大概是启示我们转成概率去做。发现若把

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ 换成 \(\frac{1}{n - 1}\ 阅读全文

posted @ 2023-09-14 20:03 zltzlt 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P5644 [PKUWC2018] 猎人杀

摘要：洛谷传送门感觉跟 CF Gym 102978H Harsh Comments 很像。考虑容斥，钦定

S \subseteq [2, n]

$S \subseteq [2, n]$ 中的人比

1

$1$ 后死。设

P (S)

$P(S)$ 为

S

$S$ 中的人比

1

$1$ 后死的概率，那么答案为： \[ans = \sum\limit 阅读全文

posted @ 2023-07-18 16:51 zltzlt 阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P4548 [CTSC2006] 歌唱王国

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/P4548 "洛谷传送门") 结论：答案为

\sum_{s_{1 \sim k} = s_{m - k + 1 \sim m}} n^{k}

$\sum\limits_{s_{1 \sim k} = s_{m - k + 1 \sim m}} n^k$ 。记一下两种理解方法。假设有人开了一个赌场，每一秒钟有一位赌阅读全文

posted @ 2023-07-13 15:57 zltzlt 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 238 Ex Removing People

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc238_h "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks/abc238_h "AtCoder 传送门") 考虑期望转计数，方阅读全文

posted @ 2023-06-27 13:34 zltzlt 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1842G Tenzing and Random Operations

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1842G "洛谷传送门") [CF 传送门](https://codeforces.com/contest/1842/problem/G "CF 传送门") 原来还不会这种拆期望的套路![](//图.tk/0) 阅读全文

posted @ 2023-06-25 18:35 zltzlt 阅读(124) 评论(2) 推荐(1) 编辑

AtCoder Regular Contest 154 E Reverse and Inversion

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_arc154_e "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/arc154/tasks/arc154_e "AtCoder 传送门") 好题！考虑如何更阅读全文

posted @ 2023-06-24 14:02 zltzlt 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 242 Ex Random Painting

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc242_h "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc242/tasks/abc242_h "AtCoder 传送门") 好久没复习过 mi 阅读全文

posted @ 2023-06-17 16:25 zltzlt 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 253 Ex We Love Forest

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc253_h "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc253/tasks/abc253_h "AtCoder 传送门") 没做出来。考虑求阅读全文

posted @ 2023-06-16 17:29 zltzlt 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 149 F Surrounded Nodes

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc149_f "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc149/tasks/abc149_f "AtCoder 传送门") 不错的题。考虑题阅读全文

posted @ 2023-06-06 20:26 zltzlt 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Regular Contest 132 E Paw

摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_arc132_e "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/arc132/tasks/arc132_e "AtCoder 传送门") 感觉挺 educa 阅读全文

posted @ 2023-05-24 13:55 zltzlt 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Regular Contest 111 F Do you like query problems?

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门挺有意思的计数。计数感觉很难做，不妨转成期望，期望又可以转成概率之和。考虑枚举

w \in [0, m - 1]

$w \in [0,m-1]$ ，把

> w

$> w$ 的数设为

1

$1$ ，

\leq w

$\le w$ 的数设为

0

$0$ 。那么期望就是所有

w

$w$ ，

a_{i}

$a_i$ 为

1

$1$ 的概率之和。对于一个

i

$i$ ，阅读全文

posted @ 2023-04-23 20:43 zltzlt 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿

摘要：洛谷传送门考虑先求出哪些点一定要按，然后 dp。设

f_{i}

$f_i$ 为当前还有

i

$i$ 个点要按的期望步数。转移就是

f_{i} = \frac{i}{n} f_{i - 1} + \frac{n - i}{n} f_{i + 1}

$f_i = \dfrac{i}{n} f_{i-1} + \dfrac{n-i}{n} f_{i+1}$ ，初值

f_{p} = p, p \in [1, k]

$f_{p} = p,\ p \in [1,k]$ 。这个没办法化简阅读全文

posted @ 2023-02-02 21:52 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P3600 随机数生成器

摘要：洛谷传送门设

h_{i}

$h_i$ 为所有询问最大值

\leq i

$\le i$ 的方案数，则

a n s = \frac{\sum_{i = 1}^{n} i \times (h_{i} - h_{i - 1})}{x^{n}}

$ans = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n i \times (h_i - h_{i-1})}{x^n}$ 。设

g_{i}

$g_i$ 为在

1 \sim n

$1 \sim n$ 中选出

i

$i$ 个点且每个询问区间都至少包含一阅读全文

posted @ 2023-01-14 09:04 zltzlt 阅读(53) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1705F Mark and the Online Exam

摘要：洛谷传送门 CodeForces 传送门看到询问次数接近

n

$n$ ，考虑将

n

$n$ 分成多组，每组都以较少的期望询问次数解决。先询问一次全 F，接下来的询问就能确定若干个位置的 T 个数。考虑每次从答案未确定的问题集合中随

4

$4$ 个（如果集合大小

< 4

$< 4$ 就暴力），先问这

4

$4$ 个中 T 阅读全文

posted @ 2023-01-12 15:41 zltzlt 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

min-max 容斥

摘要：### 公式普通 min-max 容斥：

max_{i \in S} a_{i} = \sum_{T \subseteq S \land T \neq \emptyset} (- 1)^{| T | - 1} min_{j \in T} a_{j}

$\max\limits_{i \in S} a_i = \sum\limits_{T \subseteq S \and T \ne \varnothing} (-1)^{|T|-1} \min\limits_{j \in T} a_j$ $$\min 阅读全文

posted @ 2022-11-16 11:31 zltzlt 阅读(267) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1540B Tree Array

摘要：CF 传送门洛谷传送门很强的一个题。发现根的选择很重要，于是考虑先枚举根。考虑枚举两个点对

i, j (i < j)

$i,j\ (i<j)$ ，如果

j

$j$ 比

i

$i$ 先被标记，那么

i, j

$i,j$ 就贡献了一个逆序对。将所有

j

$j$ 比

i

$i$ 先被标记的概率加起来就是期望。对于

i, j

$i,j$ ，当 $\operato 阅读全文

posted @ 2022-11-03 20:36 zltzlt 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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