组合数学 - 随笔分类 - zltzlt

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑单个序列如何求答案。考虑鞅与停时定理。定义一个局面的势能为

\sum_{i = 0}^{K - 1} f (b_{i})

$\sum\limits_{i = 0}^{K - 1} f(b_i)$ ，其中

f (x)

$f(x)$ 是一个关于

x

$x$ 的函数，

b_{i}

$b_i$ 为

i

$i$ 的出现次数。那么我们要构造 \(f(x)\ 阅读全文

posted @ 2024-08-15 23:23 zltzlt 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1942E Farm Game

摘要：洛谷传送门 CF 传送门不妨假设先手的牛在后手的牛左边，右边是对称的。直接给出结论：先手必败当且仅当全部

b_{i} - a_{i}

$b_i - a_i$ 为奇数。证明考虑归纳，首先

\forall i \in [1, n], b_{i} - a_{i} = 1

$\forall i \in [1, n], b_i - a_i = 1$ 是必败态，因为先手只能往左退，最后后手会把先手逼到最阅读全文

posted @ 2024-04-04 22:15 zltzlt 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ2834 「JOISC 2018 Day 2」修行

摘要：LOJ 传送门考虑若已求出钦定

k

$k$ 个升高的排列数量

f_{k}

$f_k$ ，那么二项式反演就可以求出恰好

k

$k$ 个升高的排列数量

g_{k}

$g_k$ ，即：

g_{k} = \sum_{i = k}^{n} (- 1)^{i - k} (\binom{i}{k}) f_{i}

$g_k = \sum\limits_{i = k}^n (-1)^{i - k} \binom{i}{k} f_i$ 考虑求 \(f 阅读全文

posted @ 2024-02-20 18:16 zltzlt 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1931G One-Dimensional Puzzle

摘要：洛谷传送门 CF 传送门什么 [ABC336G] 16 Integers 究极弱化版。把元素

1

$1$ 看成

01

$01$ ，元素

2

$2$ 看成

10

$10$ ，元素

3

$3$ 看成

11

$11$ ，元素

4

$4$ 看成

00

$00$ 。则转化为统计长度为

2

$2$ 的子串

x y

$xy$ 出阅读全文

posted @ 2024-02-14 10:46 zltzlt 阅读(75) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1924E Paper Cutting Again

摘要：洛谷传送门 CF 传送门印度出题人玩原神玩的吧？？？考虑计算每条折线被选的概率。考虑相当于是有一个

1 \sim n + m - 2

$1 \sim n + m - 2$ 的排列

p

$p$ ，然后一条

x = i

$x = i$ 的直线被选且不是最后一个被选的，当且仅当它在

p

$p$ 中排在 \(x = 1 \sim i - 1\ 阅读全文

posted @ 2024-01-28 22:00 zltzlt 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1924D Balanced Subsequences

摘要：洛谷传送门 CF 传送门发现去掉匹配的

2 k

$2k$ 个括号后，剩下的串一定形如

)) \dots) ((\dots (

$)) \ldots )(( \ldots ($ ，其中右括号数量为

a = m - k

$a = m - k$ ，左括号数量为

b = n - k

$b = n - k$ 。考虑把剩下的串像 \()) \ldots ) \mid (( \ldot 阅读全文

posted @ 2024-01-28 10:52 zltzlt 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1667E Centroid Probabilities

摘要：洛谷传送门 CF 传送门首先需要了解重心的三种定义：删掉一个点后剩下子树大小

\leq \frac{n}{2}

$\le \frac{n}{2}$ 的点

\sum_{i = 1}^{n} dis (u, i)

$\sum\limits_{i = 1}^n \text{dis}(u, i)$ 最小的点最深的 \(sz_u \ge \left\lceil\frac{n}{2}\ 阅读全文

posted @ 2024-01-25 11:11 zltzlt 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1466H Finding satisfactory solutions

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑给定

b

$b$ 如何构造

a

$a$ 。拎出基环树的环部分，把这些点连同它们的边删掉（这个环一定在答案中）。递归做即可。考虑我们在

a

$a$ 的环上连一些在

{b_{i, n}}

$\{b_{i, n}\}$ 中排得比

a_{i}

$a_i$ 前的

i \to j

$i \to j$ 。可以将问题转化为阅读全文

posted @ 2024-01-18 17:52 zltzlt 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 814E An unavoidable detour for home

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑给图分层，一层的点一一对应上一层的一些点。设

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 为考虑了前

i

$i$ 个点，最后一层有

j

$j$ 个点，除了最后一层点的其他点度数限制已经满足的方案数。转移系数是

g_{i, j, k}

$g_{i, j, k}$ 表示这一层有

i

$i$ 个点，上一层有 \ 阅读全文

posted @ 2024-01-17 22:06 zltzlt 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 046 F Forbidden Tournament

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门太厉害了！！！！！！首先竞赛图有个性质，若存在环则一定存在三元环。先把 DAG 的情况（一条链）特判了。然后缩点。发现非链底的部分不能存在大小

> 1

$> 1$ 的 SCC。所以枚举非链底的部分有多少点，转化为 SCC 的情况。发现对于任意点（设为

1

$1$ 阅读全文

posted @ 2024-01-16 16:17 zltzlt 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1919E Counting Prefixes

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑一个很类似的题。我们把正数和负数分开来考虑，最后用

0

$0$ 连接一些连续段，形如

0 - 正 - 0 - 正 - 0 - 负

$0 - \text{正} - 0 - \text{正} - 0 - \text{负}$ 。先考虑正数。设

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 为考虑了

\geq i

$\ge i$ 的正数，形成了阅读全文

posted @ 2024-01-09 18:18 zltzlt 阅读(64) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Regular Contest 167 C MST on Line++

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门我是傻逼。很平凡的一个计数。但是不会啊。怎么会是呢。考虑 Kruskal 求解 MST on Line 问题。我们可以想到统计边权

= a_{i}

$= a_i$ 的出现次数。然后又可以容斥转化成统计边权

\leq a_{i}

$\le a_i$ 的出现次数，设其为

f_{i}

$f_i$ 。考虑阅读全文

posted @ 2023-12-29 22:40 zltzlt 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1909F2 Small Permutation Problem (Hard Version)

摘要：洛谷传送门 CF 传送门感觉这个题还是挺不错的。考虑 F1。考察

a_{i}

$a_i$ 差分后的意义，发现

a_{i} - a_{i - 1}

$a_i - a_{i - 1}$ 就是

(\sum_{j = 1}^{i - 1} [p_{j} = i]) + p_{i} \leq i

$(\sum\limits_{j = 1}^{i - 1} [p_j = i]) + p_i \le i$ 。考虑将其转化为棋盘问题。在 \(( 阅读全文

posted @ 2023-12-24 11:55 zltzlt 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 040 F Two Pieces

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门第二道问号题。设

A \geq B

$A \ge B$ 。我们现在将点的坐标刻画到二维平面上。相当于找到一条

(0, 0) \to (A, B)

$(0, 0) \to (A, B)$ 的路径，要求不能跨过直线

y = x

$y = x$ 。有

3

$3$ 种移动方式：向右移动一格。向上移动一格。将当前点提到直线阅读全文

posted @ 2023-12-15 08:32 zltzlt 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ3405 「2020-2021 集训队作业」Gem Island 2

摘要：LOJ 传送门组合计数神题。下文的

m

$m$ 指原题面中的

d

$d$ ，

k

$k$ 指原题面中的

r

$r$ 。考虑最后每个人得到的宝石数量的序列

s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}

$s_1, s_2, \ldots, s_n$ ，考虑这种方案的出现次数。首先要在

m

$m$ 次操作中分别选

s_{i} - 1

$s_i - 1$ 次给第 \ 阅读全文

posted @ 2023-12-05 08:48 zltzlt 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1895F Fancy Arrays

摘要：洛谷传送门 CF 传送门看到题目感觉很怪，没有什么很好的直接做的办法。于是考虑容斥，

min a_{i} \leq x + k - 1

$\min a_i \le x + k - 1$ 的方案数减去

max a_{i} < x

$\max a_i < x$ 的方案数即为答案。前者的方案数是好算的。注意到只要确定了

min a_{i}

$\min a_i$ 和差分数组 \(a_i - 阅读全文

posted @ 2023-11-15 19:19 zltzlt 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P6662 [POI 2019] Przedszkole

摘要：洛谷传送门

k

$k$ 染色问题。给定

n

$n$ 个点

m

$m$ 条边无向图，求有多少种给每个点赋点权

a_{u} \in [1, k]

$a_u \in [1, k]$ 的方案，使得

\forall (u, v) \in E, a_{u} \neq a_{v}

$\forall (u, v) \in E, a_u \ne a_v$ 。 Subtask

1

$1$ ：

n \leq 15

$n \le 15$ 。考虑因阅读全文

posted @ 2023-11-14 15:25 zltzlt 阅读(100) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 216 H Random Robots

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门下文令

n

$n$ 为原题中的

K

$K$ ，

m

$m$ 为原题中的

N

$N$ 。首先概率转方案数，最后除

2^{n m}

$2^{nm}$ 即可。考虑一个指数级暴力：枚举每个 bot 的终点

y_{i}

$y_i$ （因为存在不能相交的限制，需要满足 \(y_1 < y_2 < \ 阅读全文

posted @ 2023-10-27 10:34 zltzlt 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 180 F Unbranched

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门首先进行一个容斥，把连通块最大值

= K

$= K$ 变成

\leq K

$\le K$ 的方案数减去

\leq K - 1

$\le K - 1$ 的方案数。考虑 dp，设

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 表示当前用了

i

$i$ 个点，

j

$j$ 条边。转移即枚举其中一个连通块的大小

k

$k$ 阅读全文

posted @ 2023-10-16 13:57 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 057 E RowCol/ColRow Sort

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门首先考虑一个经典的套路：转

01

$01$ 。具体而言，我们考虑若值域是

[0, 1]

$[0, 1]$ 怎么做。发现可以很容易地判定一个

A

$A$ 是否合法。设矩阵第

i

$i$ 行的和为

r_{i}

$r_i$ ，第

j

$j$ 列的和为

c_{j}

$c_j$ ，那么合法当且仅当 \(A 阅读全文

posted @ 2023-10-07 14:30 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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