【数学文化十讲】序言 抓堆游戏

1.抓堆游戏
有一堆谷粒（比如100粒），甲、乙两人轮流抓，每次可以抓1-5粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？

一般思路：
1.问题一般化
2.问题特殊化
3.猜测规律
4.证明结论

步骤一：问题一般化
把问题中具体的“100粒”改为一般的“n粒”

步骤二：问题特殊化
取n=1，2，3，4，5，……
n=1, 甲
n=2, 甲
n=3, 甲
n=4, 甲
n=5, 甲
n=6, 乙
……

步骤三：猜测规律
把6的倍数留给对方，自己可以取胜。

步骤四：证明结论
用数学归纳法证明，6的倍数，设为6k
1.当k=1时，结论显然成立
2.设k-1时，成立
 6k时，乙抓 1，甲抓5，6k-1-5=6(k-1) 成立
    2, 甲抓4，6k-2-4=6(k-1) 成立
    ……
显然结论成立

2.抓三堆游戏
有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可以抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。
问：甲应该如何抓？为什么？

步骤一：问题一般化
100，200，300 变为（a, b, c)

步骤二：问题特殊化
1.（a, 0, 0) 甲
2. (a, b, 0) 
 (1) 若 a=b，即状况为（a, a, 0)  乙
 (2) 若 a != b, 即状况为(a, b, 0) 设 b>a, 此时先抓者必胜， 甲
3. (a, b, c)

 一个结论：把两堆相等的状况留给对方，自己可以取胜

 (1) 其中两堆相等， 即状况为(a, a, c), 甲先抓c，剩(a, a, 0)  甲
 (2) 任意两堆都不等，即(a, b, c), 设 a < b < c, 
  a=1时，(1, b, c) 再对b分情况讨论
  a=2时，(2, b, c) 再对b分情况讨论
  ……

  a=1时，b最小为2，于是
  起始情况是（1，2，3）穷举
   （0，2，3） -> （0，2，2） 乙
   （1，0，3） -> （1，0，1） 乙
   （1，1，3） -> （1，1，0） 乙
   （1，2，0） -> （1，1，0） 乙
   （1，2，1） -> （1，0，1） 乙
   （1，2，2） -> （0，2，2） 乙

  一个结论：把（1，2，3）留给对方，自己可以获胜

  一般的，对（1，2，c），甲可以获胜
  （1，3，c）把c抓成2，甲可以获胜

  （1，4，5）可以证明，乙可以获胜
  把（1，4，5）留给对方，自己可以获胜
  （1，4，c）把c抓成5，甲可以获胜

  一个结论，把（1， 2m， 2m+1）留给对方，自己可以取胜