矩阵翻硬币
矩阵翻硬币
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问题描述
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后,小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义:将所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数,行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后,他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是,他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明,只需要对所有硬币再进行一次Q操作,即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒,不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
随后,小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义:将所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数,行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后,他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是,他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明,只需要对所有硬币再进行一次Q操作,即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒,不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
输入数据包含一行,两个正整数 n m,含义见题目描述。
输出格式
输出一个正整数,表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
对于10%的数据,n、m <= 10^3;
对于20%的数据,n、m <= 10^7;
对于40%的数据,n、m <= 10^15;
对于10%的数据,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。
对于20%的数据,n、m <= 10^7;
对于40%的数据,n、m <= 10^15;
对于10%的数据,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。
这道题看起来像一道模拟题,但是看后面的数据,就gg了。
数据达到了1000位数,那么这道题的答案肯定是要找规律。
下面找了一位大佬的解释。
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题目的意思很清楚。小M提供了一种算法,这里演示一下 n = 2, m = 3矩阵的翻硬币过程(1 表示 正面, 0 表示 反面)
1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
x的倍数行,y的倍数列要翻转
0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 |
这种方法很麻烦,小数据还能应付,像题目中要求有1000位数,根本不可能,所以有必要另避蹊径。从简单到复杂,慢慢分析,看有什么规律:
先看 n = 1 的情况:对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1, 每次第一行都要参与翻转,当 y 能整除 m 的时候,(1 , m)会翻转,(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数,1 的约数个数为1 , 3 的约数个数为2, 5 的约数个数为2, 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数,否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现,而一个数的平方数,有两个约数相等。
所以,最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0,其他则为1。
而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。
再来看一般情况:(n , m)最后状态是什么?现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出,当m确定后,他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了,只有在(n , m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数,所以n ,m的约数个数必须为奇数,即: n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且 m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。
最后得出结论:
对于n行m列矩阵,经过 Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。
终于是找到了公式,可是又有了新的难题,怎么对1000位数开方呢?这里先给出定理:
假设位数为len的整数,开方取整后为一个lenSqrt位数。
当len为偶数,lenSqrt = len / 2 .
当len为奇数,lenSqrt = (len / 2) + 1 .
证明很简单,这里就不证了。
现在就简单了,位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如:sqrt(1028) ,表示对1028开方取整
它开方取整后两位数.先看第一位:
取 0, 00 * 00 < 1028 所以sqrt(1028) > 00
取 1, 10 * 10 < 1028 所以sqrt(1028) > 10
取 2, 20 * 20 < 1028 所以sqrt(1028) > 20
取 3, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 4, 40 * 40 > 1028 所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。
第二位:
取 0, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31
取 2, 32 * 32 < 1028 所以sqrt(1028) > 32
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
大数是一样的道理,只不过大数用字符串保存,字符串相乘也要自己来实现。
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下面就贴下我的代码:
1 #include <iostream> 2 #include <string> 3 4 #define test cout<<"******"<<endl 5 6 using namespace std; 7 8 string Multstr(string str1,string str2){ 9 10 string strResult = ""; 11 int len1 = str1.length(); 12 int len2 = str2.length(); 13 int num[500] = {0}; 14 for(int i=0;i<len1;i++){ 15 for(int j=0;j<len2;j++){ 16 num[len1-1-i+len2-1-j]+=(str1[i]-'0')*(str2[j]-'0'); 17 } 18 } 19 for(int i=0;i<len1+len2;i++){ 20 num[i+1]+=num[i]/10; 21 num[i]=num[i]%10; 22 } 23 int a=0; 24 for(int i=len1+len2-1;i>=0;i--){ 25 if(num[i]!=0){ 26 a=i;break; 27 } 28 } 29 for(int i=a;i>=0;i--){ 30 strResult += num[i]+'0'; 31 } 32 return strResult; 33 } 34 35 int Comparestr(string str1,string str,int pos){ 36 int len1 = str1.length(); 37 int len = str.length(); 38 if(len1+pos>len) 39 return 1; 40 if(len1+pos<len) 41 return 0; 42 for(int i=0;i<pos;i++){ 43 str1+='0'; 44 } 45 if(str1>str){ 46 return 1; 47 } 48 return 0; 49 } 50 51 string Sqrtstr(string str){ 52 int len = str.length(); 53 string strResult = ""; 54 string strr = ""; 55 if(len%2==0){ 56 for(int i=0;i<len/2;i++){ 57 for(int j=0;j<10;j++){ 58 strr = strResult; 59 strr +=j+'0'; 60 if(Comparestr(Multstr(strr,strr),str,(len/2-i-1)*2)){ 61 strResult+=j-1+'0'; 62 break; 63 } 64 if(j==9) 65 strResult+='9'; 66 } 67 } 68 69 }else{ 70 for(int i=0;i<len/2+1;i++){ 71 for(int j=0;j<10;j++){ 72 strr = strResult; 73 strr +=j+'0'; 74 if(Comparestr(Multstr(strr,strr),str,(len/2-i)*2)){ 75 strResult+=j-1+'0'; 76 break; 77 } 78 if(j==9) 79 strResult+='9'; 80 } 81 } 82 83 } 84 return strResult; 85 } 86 87 int main(){ 88 std::ios::sync_with_stdio(false); 89 string str1,str2; 90 cin>>str1>>str2; 91 cout<<Multstr(Sqrtstr(str1),Sqrtstr(str2))<<endl; 92 return 0; 93 }