P7535 [COCI2016-2017#4] Kas 题解

校内模拟赛的题

思路

看到这道题可以很快想出一个 $O(n(\sum c_i{)}^2)$ 的方法：用 $d{p}_{i,j,k}$ 表示表示第 $1\sim i$ 张钞票里，能否使得 Kile 分到 $j$ 块钱，Pogi 分到 $k$ 块钱，可以得到状态转移方程：

$$d{p}_{i,j,k}|=\{\begin{array}{l}d{p}_{i-1,j,k}\\ d{p}_{i-1,j-c_i,k}\\ d{p}_{i-1,j,k-c_i}\end{array}$$

但是这样空间要开到 $500\times 500\times {10}^5$ ，会爆空间。所以我们再观察一下，可以用一个显然的结论来优化空间：知道两个数的和、差就可以求出这两个数的值。我们重新定义一下 $dp$ 数组，令 $d{p}_{i,j}$ 表示第 $1\sim i$ 张钞票里， Kile 和 Pogi 分到钱的差值为 $j$ 时，两人钱数之和的最大值， 可以得到柿子：

$$d{p}_{i,j}=max\{\begin{array}{l}d{p}_{i-1,|j-c_i|}+c_i\\ d{p}_{i-1,j}\\ d{p}_{i-1,j+c_i}+c_i\end{array}$$

注意到每次转移第一维只从 $i-1$ 转移过来，可以用滚动数组优化，不过不加也可以过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[600],dp[505][100005],tot,now;
int main(){
	memset(dp,-0x7f,sizeof(dp));
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		tot+=a[i];
	}
	dp[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=tot;j++){
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j],max(dp[i-1][j+a[i]]+a[i],dp[i-1][abs(j-a[i])]+a[i]));
		}
	}	
	cout<<tot-dp[n][0]/2;
	return 0;
}