数论-裴蜀定理-扩展欧几里得算法

裴蜀定理

对于任意的整数a、b，都存在一对整数x、y（注意x和y可以是负整数），使得$ax+by=gcd(a,b)$成立。或者可以这样描述：对方程$ax+by=c，(a,b,c\in Z)$，只有满足$gcd(a,b)|c$（即a和b的最大公约数可以整除c），方程才有整数解。

裴蜀定理的证明

已知$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$，递归边界就是$b=0，a=gcd(a,b)$。这个时候$ax+by=gcd(a,b)$，只需令$x=1,y=0$，即可。

从递归边界回归的过程中，当前存在整数x'和y'满足：$a^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }{y}^{\prime }=gcd(a,b)$，再往上一层，则有：$a^{\prime }=b，b^{\prime }=a\mathrm{\%}b=a-a/b\ast b$，代入上式有：

$b{x}^{\prime }+(a-a/b\ast b)y^{\prime }=gcd(a,b)$，即：$b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-a/b\ast b{y}^{\prime }=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-a/b\ast y^{\prime })=gcd(a,b)$。

根据$ax+by=gcd(a,b)$ , 得：$x=y^{\prime }，y=(x^{\prime }-a/b\ast y^{\prime })$。

因为$y^{\prime }$是整数，$x^{\prime }$也是整数，而$a/b$也是向下取整后的整数结果，因此，可以得知：$x$和$y$也是整数。由此可归纳得证。
以上证明方法，也称为扩展欧几里得算法。

扩展欧几里得算法模板

int exgcd(int a, int b,int &x,int &y){
  if(b==0){		    // 边界
    x = 1, y = 0 ;
    return a;
  }
  int d = exgcd(b,a%b,x,y);
  int k = x;                //K 为 x'
  x = y;		    //x 为 y'
  y = k - a/b*y;            //y 为 x' - a/b*y'
  return d;
}

求解不定方程

对于方程$ax+by=c,gcd(a,b)|c$ ，可以调用$exgcd(a,b,x,y)$，计算出方程$ax+by=gcd(a,b)$的一组特解$(x_0,y_0)$

设 $d=c/gcd(a,b)$，则$a{x}_0\ast d+b{y}_0\ast d=gcd(a,b)\ast d=c$，故$(x_0\ast d,y_0\ast d)$是方程$ax+by=c$ 的一组解

求不定方程$ax+by=c$ 的任意一组解$(x,y)$ ,则有 $ax+by=c$与 $a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=c$ 相减得 $a(x-x^{\prime })=b(y^{\prime }-y)$

得到${\displaystyle \frac{a}{gcd(a,b)}}(x-x^{\prime })={\displaystyle \frac{b}{gcd(a,b)}}(y^{\prime }-y)$

因为$gcd({\displaystyle \frac{a}{gcd(a,b)}},{\displaystyle \frac{b}{gcd(a,b)}})=1$，所以${\displaystyle \frac{a}{gcd(a,b)}}|y^{\prime }-y$。

故存在整数t，使得 $y^{\prime }-y={\displaystyle \frac{a}{gcd(a,b)}}t$，即 $y=y^{\prime }-{\displaystyle \frac{a}{gcd(a,b)}}t$，同理有 $x=x^{\prime }+{\displaystyle \frac{b}{gcd(a,b)}}t$

由 x, y 的任意性，方程的全部解都可以表示为 $(x^{\prime }+{\displaystyle \frac{b}{gcd(a,b)}}t，y^{\prime }-{\displaystyle \frac{a}{gcd(a,b)}}t)$ , 其中$(x^{\prime },y^{\prime })$由$(x_0\ast d,y_0\ast d)$得来，$t\in Z$。

求x的最小正整数解，设$P={\displaystyle \frac{b}{gcd(a,b)}}$，那么

当$x^{\prime }>0$时，则$x=x^{\prime }\mathrm{\%}P$，相当于$t$为负整数，让$x^{\prime }$减少$t$倍$P$，直到最小正整数解，例如当$x^{\prime }=11，P=3,t=-3$ 时，使$x=11-3\ast 3=2$ , 相当于 $x=11\mathrm{\%}3=2$

当$x^{\prime }<0$时，则$x=(x^{\prime }\mathrm{\%}P+P)\mathrm{\%}P$，相当于$t$为正整数，让$x^{\prime }$增加到最小正整数,例如当$x^{\prime }=-11，P=3,t=4$ 时，使$x=-11+3\ast 4=1$ , 相当于 $x=(-11\mathrm{\%}3+3)\mathrm{\%}3=(-2+3)\mathrm{\%}3=1$

举例：青蛙约会 http://poj.org/problem?id=1061

分析：

设青蛙A和青蛙B跳跃了t次后相遇，则相对于起点0，青蛙A总路程为$x+mt$ ,青蛙B总路程为$y+nt$ ,满足$x+mt=y+nt+kl$ ,$k\in Z$。

化解方程为$(m-n)t+kl=y-x$ , 设$a=m-n,b=l,c=y-x$ , 则有$at+bk=c$,本题要求t的最小正整数解，若$gcd(a,b)\nmid c$，则说明无解。

利用扩展欧几里得算法实现如下：

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll x, y, m, n, l, a, b, c, _x, _y;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {  // 边界
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll k = x;           // K 为 x'
    x = y;              // x 为 y'
    y = k - a / b * y;  // y 为 x' - a/b*y'
    return d;
}
int main() {
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &l);
    a = m - n, b = l, c = y - x;
    if (a < 0) {  //方便计算gcd(a,b)为正整数，a与c一起变号，k为任意整数，故不考虑k
        a = -a, c = -c;
    }
    ll _eg = exgcd(a, b, _x, _y);  //_x可能是负数
    if (c % _eg)
        puts("Impossible");
    else {
        ll d = c / _eg, p = b / _eg;
        _x = _x * d;  //_x不一定是最小正整数解
        if (_x > 0) {
            printf("%lld\n", _x % p);  //相当于_x 减去 t个p 后最小正整数解
        } else {
            printf("%lld\n", (_x % p + p) % p);  //相当于_x 加上 t个p 后最小正整数解
        }
    }
    return 0;
}