树链剖分
树链剖分
重链剖分
【问题引入】
问题描述
给定一颗有 \(n\) 个节点、带边权的树，现在有对树进行 \(m\) 个操作，操作有 \(2\) 类：
- 将节点 \(a\) 到节点 \(b\) 路径上所有边权的值都改为 \(c\)；
- 询问节点 \(a\) 到节点 \(b\) 路径上的最大边权值。
请你写一个程序依次完成这 \(m\) 个操作。
有三个操作
- 修改 \(2\) 号到 \(9\) 号节点路径上的边值为 \(7\)；
- 修改 \(2\) 号到 \(7\) 号节点路径上的边值为 \(4\) ；
- 查询 \(9\) 号到 \(8\) 号节点路径上的最大边权值。
每次修改和查询复杂度为 \(O(n)\)。
\(\color{red}思考：既然每个操作都与树上的路径有关，能否把这些路径分段存储，方便修改和查询？\)
【树链剖分的概念】
树链剖分是指一种对树进行划分的算法，它先通过轻重边剖分 \((Heavy-Light\ Decomposition)\) 将树分为多条链，保证每个点属于且只属于其中一条链，然后再通过数据结构（树状数组、SBT、SPLAY、线段树等）来维护每一条链。
使用这种方法后，一般可以将修改和查询的复杂度降为 \(O(log_2\ n)\)。
【树链剖分的方法】
定义
将树中的边分为：重边和轻边。
定义 \(size(X)\) 为以 \(X\) 为根的子树的节点个数。
令 \(V\) 为 \(U\) 的儿子节点中 \(size\) 值最大的节点，那么 \(V\) 称为 \(U\) 的\(\color{red}重儿子\)，边 \((U,V)\) 被称为\(\color{red}重边\)，树中重边之外的边被称为\(\color{red}轻边\)，全部由重边构成的路径称为\(\color{red}重链\)。
性质1
对于轻边 \((U,V)\)，\(size(V)\le size(U)\div 2\)。
从根到某一点的路径上，不超过 \(log_2 N\) 条轻边，不超过 \(log_2 N\) 条重路径。
特例
图中有 \(5\) 条重链：
- \(1\to 3\to 6\to 10\)
- \(2\to 5\to 9\)
- \(4\)
- \(7\)
- \(8\)
性质2
每一条链首深度大于 \(1\) 的重链都可以通过其\(\color{red}链首的父亲节点\)连到\(\color{red}另一条重链\)上。
核心定义
\(size[i]\)：以节点 \(i\) 为根的子树中节点的个数；
\(son[i]\)：节点 \(i\) 的重儿子；
\(dep[i]\)：节点 \(i\) 的深度，根的深度为 \(1\)；
\(top[i]\)：节点 \(i\) 所在重链的链首节点；
\(fa[i]\)：节点 \(i\) 的父节点；
\(tid[i]\)：在 DFS 找重链的过程中为节点 \(i\) 重新编的号码，每条重链上的编号节点是连续的。
两次DFS
- 第一次
DFS：找重边，顺便求出所有的 \(size[i],dep[i],fa[i],son[i]\)； - 第二次
DFS：将重边连成重链，顺便求出所有的 \(top[i],tid[i]\)。
第一次DFS
找重边，顺便求出所有的 \(size[i],dep[i],fa[i],son[i]\)；
第二次DFS
将重边连成重链，顺便求出所有的 \(top[i],tid[i]\)。
从根节点开始 ，沿重边向下扩展，连成重链；
不能加入当前重链上的节点，以该节点为链首向下拉一条新的重链（如果该节点是叶子节点，则自己构成一条重链）；
DFS 过程中，对节点重新编号，因为是沿重边向下扩展，故一条重链上的节点新编号会是连续的。
参考代码
void DFS_2(int u, int sp) {//第二遍dfs求出top[],p[],fp[]的值
top[u] = sp;
p[u] = pos++;
fp[p[u]] = u;
if (son[u] != -1) DFS_2(son[u], sp);//先处理重边
for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {//再处理轻边情况
int v = edge[i].to;
if (v != son[u] && v != prt[u])
DFS_2(v, v);//轻链的顶点就是自己
}
}
【树链剖分的过程】
重链剖分后
剖分完成后，每条重链相当于一段区间，将所有的重链收尾相接，用适合的数据结构来维护这个整体。
- \(tid[i]\)：\(\color{red}节点\ i\) 所对应的新编号
- \(rank[i]\)：\(\color{red}编号\ i\) 所在原树中对应的节点编号
我们可以采用 \(\Large\color{red}线段树\)等数据结构维护每条重链。
以线段树维护为例
维护节点 \(u,v\) 路径上的最大值
【树链剖分的修改操作】
即整体修改点 \(U\) 和点 \(V\) 的路径上每条边的权值。
点 \(U\) 和点 \(V\) 的关系分为两种情况：
- 情况 \(1\) ：\(U\) 和 \(V\) 在同一条重链上；
- 情况 \(2\) ：\(U\) 和 \(V\) 不在同一条重链上。
情况 \(1\)
以修改边为例：将原树中的边（\(6\to 10\)）权值修改为 \(6\)（\(\color{red}边的权值存在边所到达顶点中\)）。
\(10\) 号节点的新编号为 \(4\)，故只需修改线段树中的 \([4,4]\) 的值即可。
\(2\) 号和 \(9\) 号节点的新编号分别为 \(7\) 和 \(9\)，需要修改的区间为 \(tid[son[2]]\sim tid[9]\)，即 \([8,9]\)。
情况 \(2\)
将原树中路径 （\(8\to 9\)）上所有边的权值都修改为 \(8,\ top[9]=2,\ top[8]=8\)。
它们不在同一条重链上，需要分段修改，边修改边\(\color{red}往一条重链上靠\)。
优先将\(\color{red}链首\)深度大的点往上爬，向另一条重链靠，直到两者爬到同一条重链，转换为情况 \(1\) 解决。
后面的图不画了。
【树链剖分的查询操作】
和修改操作类似。
设查询 \(u\to v\ \max\)。
情况 \(1\)
\(top[u] = top[v]\)
在线段树上查询 \(u\sim v\) 的区间即可。
情况 \(2\)
\(top[u]\ne top[v]\)
向上爬树，深度大的优先，深度一样随便爬一个。
重复这个操作，直到 \(top[u] = top[v]\)，转换成情况 \(1\) 处理。
参考代码
int Change(int u, int v) {//查询 u -> v 边的最大值
int f1 = top[u], f2 = top[v];
int tmp = 0;
while (f1 != f2) {
//u 和 v 不在同一条重路径，深度深的点向上爬，直到在同一条重（轻）路径上为止
if (dep[f1] < dep[f2]) {
swap(f1, f2);
swap(u, v);
}
tmp = max(tmp, Query(1, p[f1], p[f2]));
//在重链中求 u 和链首端点 f1 路径上的最大值
u = prt[f1];
f1 = top[u];
}
if (u == v) return tmp;//为同一点，则退出
if (dep[u] > dep[v])
swap(u, v);
return max(tmp, Query(1, p[son[u]], p[v]));
}
//Query(v, l, r) 查询线段树中 [l,r] 的最大值
实链剖分
没有
长链剖分
没有
