动态规划之 KMP 算法详解（转）
本文用pat表示模式串，长度为M，txt表示文本串，长度为N。KMP 算法是在txt中查找子串pat，如果存在，返回这个子串的起始索引，否则返回 -1。
一、KMP 算法概述
首先还是简单介绍一下 KMP 算法和暴力匹配算法的不同在哪里，难点在哪里，和动态规划有啥关系。
暴力的字符串匹配算法很容易写，看一下它的运行逻辑：
// 暴力匹配（伪码） int search(String pat, String txt) { int M = pat.length; int N = txt.length; for (int i = 0; i <= N - M; i++) { int j; for (j = 0; j < M; j++) { if (pat[j] != txt[i+j]) break; } // pat 全都匹配了 if (j == M) return i; } // txt 中不存在 pat 子串 return -1; }
对于暴力算法，如果出现不匹配字符，同时回退txt和pat的指针，嵌套 for 循环，时间复杂度 O(MN)，空间复杂度O(1)。最主要的问题是，如果字符串中重复的字符比较多，该算法就显得很蠢。
比如 txt = "aaacaaab" pat = "aaab"：
很明显，pat中根本没有字符 c，根本没必要回退指针i，暴力解法明显多做了很多不必要的操作。
KMP 算法的不同之处在于，它会花费空间来记录一些信息，在上述情况中就会显得很聪明：
再比如类似的 txt = "aaaaaaab" pat = "aaab"，暴力解法还会和上面那个例子一样蠢蠢地回退指针i，而 KMP 算法又会耍聪明：
因为 KMP 算法知道字符 b 之前的字符 a 都是匹配的，所以每次只需要比较字符 b 是否被匹配就行了。
KMP 算法永不回退txt的指针i，不走回头路（不会重复扫描txt），而是借助dp数组中储存的信息把pat移到正确的位置继续匹配，时间复杂度只需 O(N)，用空间换时间，所以我认为它是一种动态规划算法。
KMP 算法的难点在于，如何计算dp数组中的信息？如何根据这些信息正确地移动pat的指针？这个就需要确定有限状态自动机来辅助了，别怕这种高大上的文学词汇，其实和动态规划的dp数组如出一辙，等你学会了也可以拿这个词去吓唬别人。
还有一点需要明确的是：计算这个dp数组，只和pat串有关。意思是说，只要给我个pat，我就能通过这个模式串计算出dp数组，然后你可以给我不同的txt，我都不怕，利用这个dp数组我都能在 O(N) 时间完成字符串匹配。
具体来说，比如上文举的两个例子：
txt1 = "aaacaaab" pat = "aaab" txt2 = "aaaaaaab" pat = "aaab"
我们的txt不同，但是pat是一样的，所以 KMP 算法使用的dp数组是同一个。
只不过对于txt1的下面这个即将出现的未匹配情况：
dp数组指示pat这样移动：
PS：这个j不要理解为索引，它的含义更准确地说应该是状态（state），所以它会出现这个奇怪的位置，后文会详述。
明白了dp数组只和pat有关，那么我们这样设计 KMP 算法就会比较漂亮：
二、状态机概述
为什么说 KMP 算法和状态机有关呢？是这样的，我们可以认为pat的匹配就是状态的转移。比如当 pat = "ABABC"：
如上图，圆圈内的数字就是状态，状态 0 是起始状态，状态 5（pat.length）是终止状态。开始匹配时pat处于起始状态，一旦转移到终止状态，就说明在txt中找到了pat。
另外，处于某个状态时，遇到不同的字符，pat状态转移的行为也不同。比如说假设现在匹配到了状态 4，如果遇到字符 A 就应该转移到状态 3，遇到字符 C 就应该转移到状态 5，如果遇到字符 B 就应该转移到状态 0
这里为了清晰起见，我们画状态图时就把其他字符转移到状态 0 的箭头省略，只画pat中出现的字符的状态转移：
KMP 算法最关键的步骤就是构造这个状态转移图。要确定状态转移的行为，得明确两个变量，一个是当前的匹配状态，另一个是遇到的字符；确定了这两个变量后，就可以知道这个情况下应该转移到哪个状态。
为了描述状态转移图，我们定义一个二维 dp 数组，它的含义如下：
dp[j][c] = next 0 <= j < M，代表当前的状态 0 <= c < 256，代表遇到的字符（ASCII 码） 0 <= next <= M，代表下一个状态 dp[4]['A'] = 3 表示： 当前是状态 4，如果遇到字符 A， pat 应该转移到状态 3 dp[1]['B'] = 2 表示： 当前是状态 1，如果遇到字符 B， pat 应该转移到状态 2
根据我们这个 dp 数组的定义和刚才状态转移的过程，我们可以先写出 KMP 算法的 search 函数代码：
public int search(String txt) { int M = pat.length(); int N = txt.length(); // pat 的初始态为 0 int j = 0; for (int i = 0; i < N; i++) { // 当前是状态 j，遇到字符 txt[i]， // pat 应该转移到哪个状态？ j = dp[j][txt.charAt(i)]; // 如果达到终止态，返回匹配开头的索引 if (j == M) return i - M + 1; } // 没到达终止态，匹配失败 return -1; }
三、构建状态转移图
回想刚才说的：要确定状态转移的行为，必须明确两个变量，一个是当前的匹配状态，另一个是遇到的字符，而且我们已经根据这个逻辑确定了dp数组的含义，那么构造dp数组的框架就是这样：
for 0 <= j < M: # 状态 for 0 <= c < 256: # 字符 dp[j][c] = next
这个 next 状态应该怎么求呢？显然，如果遇到的字符c和pat[j]匹配的话，状态就应该向前推进一个，也就是说next = j + 1，我们不妨称这种情况为状态推进：
如果遇到的字符c和pat[j]不匹配的话，状态就要回退（或者原地不动），我们不妨称这种情况为状态重启：
那么，如何得知在哪个状态重启呢？解答这个问题之前，我们再定义一个名字：影子状态（我编的名字），用变量X表示。所谓影子状态，就是和当前状态具有相同的前缀。比如下面这种情况：
当前状态j = 4，其影子状态为X = 2，它们都有相同的前缀 "AB"。因为状态X和状态j存在相同的前缀，所以当状态j准备进行状态重启的时候（遇到的字符c和pat[j]不匹配），可以通过X的状态转移图来获得最近的重启位置。
比如说刚才的情况，如果状态j遇到一个字符 "A"，应该转移到哪里呢？首先状态 4 只有遇到 "C" 才能推进状态，遇到 "A" 显然只能进行状态重启。状态j会把这个字符委托给状态X处理，也就是dp[j]['A'] = dp[X]['A']：
这样，我们就可以细化一下刚才的框架代码：
int X # 影子状态 for 0 <= j < M: for 0 <= c < 256: if c == pat[j]: # 状态推进 dp[j][c] = j + 1 else: # 状态重启 # 委托 X 计算重启位置 dp[j][c] = dp[X][c]
四、代码实现
public class KMP { private int[][] dp; private String pat; public KMP(String pat) { this.pat = pat; int M = pat.length(); // dp[状态][字符] = 下个状态 dp = new int[M][256]; // base case dp[0][pat.charAt(0)] = 1; // 影子状态 X 初始为 0 int X = 0; // 当前状态 j 从 1 开始 for (int j = 1; j < M; j++) { for (int c = 0; c < 256; c++) { if (pat.charAt(j) == c) dp[j][c] = j + 1; else dp[j][c] = dp[X][c]; } // 更新影子状态 X = dp[X][pat.charAt(j)]; } } public int search(String txt) {...} }
先解释一下这一行代码：
// base case
dp[0][pat.charAt(0)] = 1;
这行代码是 base case，只有遇到 pat[0] 这个字符才能使状态从 0 转移到 1，遇到其它字符的话还是停留在状态 0（Java 默认初始化数组全为 0）。
影子状态X是先初始化为 0，然后随着j的前进而不断更新的。下面看看到底应该如何更新影子状态X：
int X = 0; for (int j = 1; j < M; j++) { ... // 更新影子状态 // 当前是状态 X，遇到字符 pat[j]， // pat 应该转移到哪个状态？ X = dp[X][pat.charAt(j)]; }
其中的原理非常微妙，注意代码中 for 循环的变量初始值，可以这样理解：后者是在txt中匹配pat，前者是在pat中匹配pat[1:]，状态X总是落后状态j一个状态，与j具有最长的相同前缀。所以我把X比喻为影子状态，似乎也有一点贴切。
public class KMP { private int[][] dp; private String pat; public KMP(String pat) { this.pat = pat; int M = pat.length(); // dp[状态][字符] = 下个状态 dp = new int[M][256]; // base case dp[0][pat.charAt(0)] = 1; // 影子状态 X 初始为 0 int X = 0; // 构建状态转移图（稍改的更紧凑了） for (int j = 1; j < M; j++) { for (int c = 0; c < 256; c++) dp[j][c] = dp[X][c]; dp[j][pat.charAt(j)] = j + 1; // 更新影子状态 X = dp[X][pat.charAt(j)]; } } public int search(String txt) { int M = pat.length(); int N = txt.length(); // pat 的初始态为 0 int j = 0; for (int i = 0; i < N; i++) { // 计算 pat 的下一个状态 j = dp[j][txt.charAt(i)]; // 到达终止态，返回结果 if (j == M) return i - M + 1; } // 没到达终止态，匹配失败 return -1; } }
五、最后总结
传统的 KMP 算法是使用一个一维数组next记录前缀信息，而本文是使用一个二维数组dp以状态转移的角度解决字符匹配问题，但是空间复杂度仍然是 O(256M) = O(M)。
在pat匹配txt的过程中，只要明确了「当前处在哪个状态」和「遇到的字符是什么」这两个问题，就可以确定应该转移到哪个状态（推进或回退）。
对于一个模式串pat，其总共就有 M 个状态，对于 ASCII 字符，总共不会超过 256 种。所以我们就构造一个数组dp[M][256]来包含所有情况，并且明确dp数组的含义：
dp[j][c] = next表示，当前是状态j，遇到了字符c，应该转移到状态next。
明确了其含义，就可以很容易写出 search 函数的代码。
对于如何构建这个dp数组，需要一个辅助状态X，它永远比当前状态j落后一个状态，拥有和j最长的相同前缀，我们给它起了个名字叫「影子状态」。
在构建当前状态j的转移方向时，只有字符pat[j]才能使状态推进（dp[j][pat[j]] = j+1）；而对于其他字符只能进行状态回退，应该去请教影子状态X应该回退到哪里（dp[j][other] = dp[X][other]，其中other是除了pat[j]之外所有字符）。
对于影子状态X，我们把它初始化为 0，并且随着j的前进进行更新，更新的方式和 search 过程更新j的过程非常相似（X = dp[X][pat[j]]）。
六、完整C++代码
#include <stdio.h> #include <string> #include <vector> using namespace std; class KMP { public: KMP(string pat) { _pat=pat; int m=pat.size(); _dp=vector<vector<int>>(m,vector<int>(256,0)); _dp[0][pat[0]]=1; int X=0; for(int j=1;j<m;++j){ for(int c=0;c<256;++c) { if(pat[j]==c) _dp[j][c]=j+1; else { _dp[j][c]=_dp[X][c]; } } X=_dp[X][pat[j]]; } } int search(string txt, string pat) { int n=txt.size(); int m=pat.size(); int j=0; for(int i=0;i<n;++i){ j=_dp[j][txt[i]]; if(j==m) return i-m+1; } return -1; } vector<vector<int>> _dp; string _pat; }; int main(int argc, char *argv[]) { string txt="aaaaaaaaab"; string pat="aaaab"; KMP k(pat); int res=k.search(txt,pat); printf("res=%d\n",res); return 0; }
