二进制警报器

我们希望在线解决如下形式的问题：

给定长度为 $n$ 的数组和 $q$ 次操作，每次操作如下：

• 给数组一个位置加 $v$。
• 给定不超过 $k$ 个位置，要求在数组这些位置的总和超过 $v$ 的时候输出该操作的编号。

众所周知，折半警报器能在均摊做到 $\mathcal O(1) - \mathcal O(k^2\log q\log V)$（$x - y$ 表示操作一复杂度为 $x$，操作二复杂度为 $y$）。但我发现了一个 $\mathcal O(1) - \mathcal O(k\log V)$ 的算法，我们就称其为 "二进制警报器" 吧。

对于一个二操作，设其对应位置为 $pos_1,...,pos_d$。对于该操作，维护一个阈值 $h$，只要 $a_{pos_i}$ 的值经过（$a_x \to a_x+w$ 的时候，我们认为它经过了 $(a_x,a_x+w]$）$2^h$ 的倍数时 "报警"。如果目前的 $h$ 能让所有 $a_{pos_i}$ 在都不报警的前提下总和超过 $v$，那么将 $h$ 降低 $1$。

对于每个 $h=h_0$，报警次数总和是不超过 $\mathcal O(k)$ 的：$h$ 降到 $h_0$ 时，$v - \sum_{i=1}^{k}a_{pos_i}$ 应是 $\mathcal O(k2^{h_0})$ 的；而一个元素报警两次时，它必然增加了至少 $2^{h_0}$。

对每个 $(\text{位置},h)$ 开个 vector 维护警报器并利用二进制优化修改时找报警器的复杂度，复杂度是 $\mathcal O(1) - \mathcal O(k\log V)$。

这个结构能对我目前看到的所有减半警报器题目做出优化：

• 2019-2020 ICPC Asia Hong Kong Regional Contest I：直接的应用，能做到 $\mathcal O(n+m\log V)$。
• THUPC 2021 鬼街：直接的应用，能做到 $\mathcal O(n+q\omega(n)\log V)$。
• 300iq Contest 2 F：把 vector 改成链表，结合启发式合并可以做到 $\mathcal O((n+m)\log V)$。
• 2022 CCPC Mianyang Onsite B：这题要难优化一些。考虑直接建线段树，然后将每个人的需求拆到线段树的节点上。这样能做到修改 $\mathcal O(\log n)$，但是查询要 $\mathcal O(\log^2 n)$。考虑平衡复杂度，把线段树的二叉改成 $\sqrt{\log n}$ 叉，并对线段树的每个儿子区间都维护其总和。这样我们就能将每个人的需求拆到 $\mathcal O(\frac{\log n}{\log\log n})$ 个点上了，而一次修改只会修改 $\mathcal O(\frac{\log^2 n}{\log\log n})$ 个节点。总复杂度 $\mathcal O(\frac{n\log^2 n}{\log\log n})$。
• EZEC Round 12 F：和上一题类似，建立多叉树平衡复杂度，$\mathcal O(\frac{m\log n\log V}{\log\log V})$。