题解 CF1909H

题意#

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$。你可以进行不超过 $10^6$ 次操作，每次操作是选择一个长度为偶数的区间 $[l,r]$，然后交换 $(p_l,p_{l+1}),(p_{l+2},p_{l+3}),...,(p_{r-1},p_r)$。

你需要将排列排序。

数据范围：$n \le 3\times 10^5$。

题解#

刚才有个群友问我 Z 菜鸡发生肾摸事了，我说怎么回事？给我发了几张 CF 分数对比图，我一看！嗷！原来是昨天，我打了一场 CF，爆零了，掉分到 newbie，又被嘲讽了。

三年之期已到！

提供另一种 $2n$ 次操作的做法。

首先假设 $n$ 是奇数。

我们考虑交替执行 $(1,n-1)$ 和 $(2,n)$，执行 $n$ 次，观察执行后的结果。下面是一张做工粗糙的图：

可以发现第 $i$ 号位置被交换到了第 $n-i+1$ 上，而且每两条线路都相交了恰好一次。

不妨称终点在 $i$ 号点的线路为第 $i$ 条线路。

在两条线路相交的时，我们可以选择交换这两条线路的起点。考虑在这些操作中加入这些交换来把排列变成 $p$。

设 $to_i = p_{n-i+1}$，并给 $i \to to_i$ 连边，连的边形成一些置换环。一条边 $x\to y$ 表示我们要把第 $x$ 条线路的起点换到第 $y$ 条线路上。这时，前文的交换线路可以看成是 每个时刻我们都有机会交换一些 $to_x$ 和 $to_y$，且每对 $(x,y)$ 都出现了恰好一次。

我们遇到一对 $(x,y)$ 的时候，如果 $x$ 和 $y$ 在一个置换环上，那么就交换，此时置换环会分裂，$x$ 和 $y$ 就不在一个置换环上了。执行完所有交换后，每两个点都不在一个置换环上，因此一定有 $to_i=i$。

由于置换环最多分裂 $n-1$ 次，所以这样做最多操作 $2n-1$ 次。

然而这还没完：这题 $n$ 是 $3\times 10^5$，所以我们不能暴力做！注意到对于一个置换环，最早的能交换的数对 $(x,y)$ 一定满足 $x$ 和 $y$ 在对置换环的节点排序后相邻，所以只要对于每个环维护一个从小指向大的链表，环分裂的时候把小的那边拿出来删掉并重构即可。

$n$ 是偶数的做法是差不多的，无非是把 $(1,n-1)$ 和 $(2,n)$ 换成 $(1,n)$ 和 $(2,n-1)$。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log^2 n)$ 或 $\mathcal O(n \log n)$，操作次数不超过 $2n-1$。

代码。