在线 $\Theta(1)$ 逆元

最近看到这个题，想到了一种比较简单的做法。

首先，我们考虑给 $x$ 乘以一非零整数 $u$，如果我们能求出 $\frac{1}{xu}$，我们就可以通过再乘以 $u$ 得到答案。

考虑让 $u$ 和 $xu \bmod p$ 比较接近 $0$，预处理 $|k|$ 比较小的所有 $\frac{1}{k}$。

考虑分块：设 $x = aB+c(0 \le c<B)$，对于 $aB$ 找到一个满足条件的 $u$。考虑令 $B = p^{1/3}$，$u$ 不超过 $\Theta(p^{1/3})$，且 $|aBu|$ 不超过 $\Theta(p^{2/3})$。

这样，$xu = (aBu + cu) \bmod p$ 的绝对值就是 $\Theta(p^{2/3})$ 级别的了。

怎么预处理 $aB$ 中的 $u$ 呢？我们的问题可以看成是找到一组 $(u,v)$ 使得 $\frac{v}{u} \equiv aB (\bmod p)$，使得 $|v| \le p^{2/3}$，$u \le p^{1/3}$。而根据 黄忠庆功宴 中的结论，这是一定可以找到的！

（证明大概就是对要 check 的 $x=aB$ 做抽屉原理，$\{ax+b\} (a \le p^{1/3},b \le p^{2/3})$ 中如果存在相同的一对数那我们就找到了合法解）

但是怎么样找到这样的 $(u,v)$ 呢？我们枚举 $u$，找到所有的 $k$ 使得 $|ukB| \le p^{2/3}$。由于 $uB$ 不是很大，所以我们每次跳找下一个合法 $k$ 即可。

稍加卡常的 aclink。