UOJ#793 【UR #24】比特智慧

前言#

似乎有人觉得这题很好拿分，可是我觉得这题在一场总时长三个小时的比赛中很难拿分啊。感觉 $m=n-1$ 就需要不少的观察了，还要在 $n=3$ 的样例下调出正确的式子，很难吧 /可怜。

题解#

首先假设形态固定，考虑怎么算答案？

考虑先按照题目描述，按照顺序依次加边。如果不考虑这条边产生的相邻关系，那么这个问题就递归成了两个子问题，两个子问题是独立的。

这个时候考虑上这条边带来的相邻关系。假设左边和右边的边都没有被"分割"开，那么问题的答案乘上 $a=\frac{k-1}{k}$ 即可；有一边被分割就是 $b=\frac{k(k-1)(k-2)}{k^2(k-1)}$，两边都被割就是 $c=\frac{(k^2-3k+3)k(k-1)}{k^2(k-1)}$。

接下来我们分析问题的结构。观察题面里给的图，很容易想到，把所有边看成点，所有加的边形成森林。

首先先算出对于树的答案。假设边数为 $i$ 的答案为 $w_i$。$F(x,y)$ 中 $x$ 表示多边形的边数，$y$ 表示连通块的个数，值为方案数。

考虑用第一个点所在的树把整张图分开（假设树的大小为 $i$），这样就会把整个问题分割成 $i$ 个子问题。

$$F(x,y) = 1 + y\sum_{i \ge 1} w_i x^i F(x,y)^i$$

为了方便给 $F$ 乘个 $x$。

$$F(x,y) = x (1 + y\sum_{i \ge 1} w_i F(x,y)^i)$$

设 $G$ 为 $F$ 的复合逆，即：$F(G) = G(F) = x$。将式子带入 $G$ 得：

$$x = G (1 + y W(x))$$

$$G = \frac{x}{1 + yW(x)}$$

又有 $[x^{n+1}] F = \frac{1}{n+1}[x^{n}] (1+yW(x))^{n+1}$

$$\frac{1}{n+1}[x^n][y^{n-m}](1+yW(x))^{n+1}$$

所以只要算出 $[x^{n}]W^{n-m}$ 即可。

---

接下来算 $W$。为了方便我定义变量我还是设成 $F$ 和 $G$。

其中 $F$ 表示：

$G$ 表示：

$$F = G ( cF^2 + 2bF + a)$$

$$G = x + G^2 (c F + b)$$

之前要要算的 $W$ 就是 $x(1+F)$。最后要求的就是 $[x^{m}](1+F)^{n-m}$。因此再次使用拉格朗日反演，我们只需要算出 $F$ 的复合逆 $g$ 即可。考虑在这两个式子内都带入 $g$。设 $u = G(g)$。

$$x = u (cx^2+bx+a)$$

$$u = \frac{x}{cx^2+bx+a}$$

---

$$u = g + u^2 (cx+b)$$

$$g = u-u^2(cx+b)$$

最终要求的大概就是 $g^{-m}$。$g$ 是一个有理分式所以可以线性甚至根号log。

代码#

#include<bits/stdc++.h>
#define L(i, j, k) for(int i = (j); i <= (k); ++i)
#define R(i, j, k) for(int i = (j); i >= (k); --i)
#define ll long long
#define sz(a) ((int) (a).size())
#define vi vector < int > 
#define me(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define ull unsigned long long
#define ld __float128	
using namespace std;
const int mod = 998244353, N = 1 << 20, inv2 = (mod + 1) / 2;
#define add(a, b) (a + b >= mod ? a + b - mod : a + b)
#define dec(a, b) (a < b ? a - b + mod : a - b)
int qpow(int x, int y = mod - 2) {
	int res = 1;
	for(; y; x = (ll) x * x % mod, y >>= 1) if(y & 1) res = (ll) res * x % mod;
	return res;
}
int fac[N], ifac[N], inv[N];
void init(int x) {
	fac[0] = ifac[0] = inv[1] = 1;
	L(i, 2, x) inv[i] = (ll) inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
	L(i, 1, x) fac[i] = (ll) fac[i - 1] * i % mod, ifac[i] = (ll) ifac[i - 1] * inv[i] % mod;
}
int C(int x, int y) {
	return y < 0 || x < y ? 0 : (ll) fac[x] * ifac[y] % mod * ifac[x - y] % mod;
}
struct poly {
	vector<int> a;
	int size() { return sz(a); }
	int & operator [] (int x) { return a[x]; }
	int v(int x) { return x < 0 || x >= sz(a) ? 0 : a[x]; }
	void clear() { vector<int> ().swap(a); }
	void rs(int x = 0) { a.resize(x); }
	poly (int n = 0) { rs(n); }
	poly (vector<int> o) { a = o; }
	poly (const poly &o) { a = o.a; }
	poly Rs(int x = 0) { vi res = a; res.resize(x); return res; }
	friend poly operator * (poly aa, poly bb) {
		if(!sz(aa) || !sz(bb)) return {};
		int lim, all = sz(aa) + sz(bb) - 1;
		vi ns(all);
		L(i, 0, sz(aa) - 1) L(j, 0, sz(bb) - 1) 
			(ns[i + j] += (ll) aa[i] * bb[j] % mod) %= mod;
		return ns;
	}
	poly Shift (int x) {
		poly zm (sz(a) + x);
		L(i, 0, sz(a) - 1) zm[i + x] = a[i];
		return zm; 
	}
	friend poly operator * (poly aa, int bb) {
		poly res(sz(aa));
		L(i, 0, sz(aa) - 1) res[i] = (ll) aa[i] * bb % mod;
		return res;
	}
	friend poly operator * (int bb, poly aa) {
		poly res(sz(aa));
		L(i, 0, sz(aa) - 1) res[i] = (ll) aa[i] * bb % mod;
		return res;
	}
	friend poly operator + (poly aa, poly bb) {
		vector<int> res(max(sz(aa), sz(bb)));
		L(i, 0, sz(res) - 1) res[i] = add(aa.v(i), bb.v(i));
		return poly(res);
	}
	friend poly operator - (poly aa, poly bb) {
		vector<int> res(max(sz(aa), sz(bb)));
		L(i, 0, sz(res) - 1) res[i] = dec(aa.v(i), bb.v(i));
		return poly(res);
	}
	poly Deriv() {
		if(!sz(a)) return poly();
		poly res(sz(a) - 1); 
		L(i, 1, sz(a) - 1) res[i - 1] = (ll) a[i] * i % mod;
		return res;
	}
} ;

int n, m, k;
inline int Inv(int x) {
	return x == 1 ? 1 : (ll) Inv(mod % x) * (mod - mod / x) % mod;
}
int ns[N];
void Main() {
	cin >> n >> m >> k;
	int a = (ll) (k - 1) * Inv(k) % mod;
	int b = (ll) (k - 2) * Inv(k) % mod;
	int c = ((ll) k * k % mod + mod - (ll) 3 * k % mod + 3) % mod * 
		Inv(k) % mod * Inv(k - 1) % mod;
	poly F = vi{a, b};
	poly G = (poly)vi{a, 2 * b % mod, c} * vi{a, 2 * b % mod, c};
	poly A = F * G, B = (G.Deriv() * F - F.Deriv() * G) * m; 
	ns[0] = qpow(a, m);
	int iv = qpow(A[0]);
	L(i, 1, n) {
		// [x^{n-1}] sum_{i} A[i] H'[n-i-1] = [x^n] H * B
		ns[i] = 0;
		L(j, 1, min(sz(A) - 1, i)) {
			(ns[i] += mod - (ll) A[j] * ns[i - j] % mod * (i - j) % mod) %= mod;
		}
		L(j, 0, min(sz(B) - 1, i - 1)) {
			(ns[i] += (ll) B[j] * ns[i - j - 1] % mod) %= mod;
		}
		ns[i] = (ll) ns[i] * inv[i] % mod * iv % mod;
	}
	int ret = 0;
	L(i, 0, m - 1) 
		(ret += (ll) C(n - m, i + 1) * (i + 1) % mod * ns[m - i - 1] % mod) %= mod;
	cout << (ll) ret * inv[m] % mod * C(n + 1, n - m) % mod * 
		inv[n + 1] % mod * qpow(k, m + 1) % mod << '\n';
}

int main() {
	init(N >> 1);
	ios :: sync_with_stdio (false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t; cin >> t; while(t--) Main();
	return 0;
}