题解 - NOI2021 机器人游戏

场上题目看错两次，day2 成功爆炸 /ll

为什么我总是拿不到自己该拿的分呢？

本文下标从 1 开始

算法 1

我会容斥！

先把问题转化成统计不存在一个合法位置的方案数。

接着统计有钦定 \(k\) 个合法的，其他随便的方案数。其容斥系数为 \((-1)^k\)。

在一次机器人的操作后，所有输入的数在经过机器人在操作后的输出都可以表示成 \(0\)，\(1\)，\(x\) 或 \(1-x\) 的形式（\(x\) 是这个位置上输入的数）

考虑一个纸带：对于一个被钦定的每一个位置，要求输入经过这个机器人操作之后一定等于输出。仍然把输出表示成输入的形式，只不过这个输出可以以多种方式被输入表达。

对于每一个位置分类讨论：

1. 如果这个位置上表示成的结果 既有 0 又有 1 或 既有 x 又有 1-x：输入输出都为空。方案数为 1。
2. 如果不满足条件 \(1\)，这个位置上表示成的结果 有 0 或 1 且 有 x 或 1-x：输入输出都为空，否则输入输出就被固定了。方案数为 2。
3. 条件 1，2 都不满足：对于每一个输入都对应一个唯一的输出，方案数为 3。

这个纸带上每一个位置就是独立的了，最后把每个位置的答案乘起来即可。

注意机器人爆炸的情况。

时间复杂度 \(\Theta(n^22^nm)\)，期望得分 \(20\)。

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算法 2

我会优化算法 1！

对于第 \(i\) 个机器人，考虑实际进行修改了的位置只有 R 的个数个（设为 \(c_i\)）。

考虑枚举最后一个钦定的位置在哪里（设为 \(r\)）。这样就可以知道哪些机器人是爆炸的了：有且仅有 \(c_i > n - r\) 的爆炸了。

然后对于前 \(r\) 个位置 \(\rm DP\)。状压记录前面的元素中哪些元素被钦定了。钦定了一个位置就给答案乘上 \(-1\)。在 \(\rm DP\) 的过程中，做到第 \(i\) 个数就把第 \(i\) 个位置的贡献（即输入输出方案数）统计掉。

但我们发现并不是所有元素都需要记录下来的：只用记录与当前位置距离不超过 \(n - r\) 的和与当前位置距离超过 \(n-r\) 的位置中有没有 \(1\) 即可。

最后再处理一下位置超过 \(r\) 的元素即可。

时间复杂度 \(\Theta(n^2m2^{n/2})\)，期望得分 \(48\)。

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算法 3

我会 bitset！

发现我们统计一个位置的贡献的时候，只有 是否有... 有用。所以考虑用 \(\rm bitset\) 同时处理一堆纸条是否有 0，1，x 和 1-x。

这样复杂度就降到了 \(\Theta(\frac{n^2m2^{n/2}}{\omega})\)，常数巨大。但是还可以优化。

其实我们要求的是类似于一个子集中的 \(\rm bitset\) 的子集并，这个东西仍然可以优化，就是类似于 f[x] = f[x & -x] | f[x ^ (x & -x)]。

时间复杂度 \(\Theta(\frac{nm2^{n/2}}{\omega})\)，期望得分 \(100\)。

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感觉讲的有些抽象，不过相信大家想到算法2 之后就会做了。

算法 4

考虑换个维度思考，对于每一个纸条，考虑他对哪些集合的贡献是 \(1\)，哪些集合的贡献是 \(3\)，算出来这两个就可以算出哪些集合贡献为 \(2\)。

问题基本转化成了这样：\(n\) 个元素被划分为 \(4\) 个集合 \(S_0,S_1,S_2,S_3\)，要将满足 [有 \(S_0\) 和 \(S_1\) 中的元素] 或 [有 \(S_2\) 和 \(S_3\) 中的元素] 的集合权值 \(+1\)，最后求每一个集合的权值和。这个东西可以用容斥加高维前缀和解决（转换成多个对 \(T_i\) 的所有子集 \(S\) 权值增加 \(W_i\)）。

时间复杂度 \(\Theta(n^2 (m + 2^{n / 2}))\)。期望得分 \(100\)。

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祝大家学习愉快！