题解-CF1479

CF1479A Searching Local Minimum

类似二分答案的东西。维护一个满足 \(a_l < a_{l - 1}, a_r < a_{r + 1}\) 的区间。这里面必然有一个局部极小值。

如果我们查询 \(a_{mid - 1}, a_{mid}, a_{mid + 1}\)，要么得出 \(a_mid\) 是局部极小值，要么得出一个更小的这样的区间。

aclink

CF1479B1 Painting the Array I，CF1479B2 Painting the Array II，

一模一样，放在一起说得了。

以 B1 为例。

维护一个 \(dp\)，\(dp_{i, j}\) 表示算到第 \(i\) 个点，\(a^{(0)}\) 和 \(a^{(1)}\) 的最后两个数是 \(a_i\) 和 \(j\)。

转移分为两类讨论，第一类是 \(a_i\) 覆盖了 \(a_{i - 1}\)，第二类是 \(a_i\) 没有覆盖 \(a_{i - 1}\) 。

\[dp_{i, j} = \begin{cases} dp_{i - 1, j} + [a_i \neq a_{i - 1}] (j \neq a_{i - 1})\\ \\max(dp_{i - 1, k} + [k \neq a_i]) (j = a_{i - 1}) \end{cases} \]

aclink1，aclink2

CF1479C Continuous City

可以立马简化题意，如果 \(L \neq 1\) 就把 \(1\) 号节点向 \(2\) 号节点连长度为 \(L - 1\) 的边，接下来的起点就是 \(2\) 号了。这样可以把转化为要求路径长度是 \([1, k]\) 的情况。

首先考虑一个严格弱化问题，如果要求路径数量是 \(k\)？

考虑二进制拆分，第 \(f_t\) 个节点表示路径数量是 \(2^t\) 的情况。对于节点 \(f_x\)，只要把起点连向他，\(\forall t < x, f_t\) 连向他即可。

对于终点，起点连向他，剩下的直接二进制拆分就好了。

这个拓展版本也就很好做了：第 \(f_t\) 个节点表示的是路径长度是 \([1, 2^t]\) 的情况就可以轻松构造出来。

aclink

CF1479D Odd Mineral Resource

介绍两种方法。

法 1

这是一个有关树上数颜色的问题，用树上莫队。

对颜色编号进行分块，块内维护可能成为答案的颜色。

修改时，如果此颜色的出现次数是奇数，那么就认为这种颜色可能成为答案。

查询的时候，对于整块扫描可能成为答案的颜色。对于一个扫到的数 \(x\)，如果出现次数确实是奇数就停，否则就把 \(x\) 从可能成为答案的数中删除。散块暴力即可。

时间复杂度 \(\Theta(n \sqrt m)\)

喜提最劣解。

aclink

法 2

出现奇数次可以用异或来处理。

如果对于每一个元素，进行随机赋值。我们查询树上 \(u\) 到 \(v\) 上，编号在 \(l\) 到 \(r\) 的权值异或和，如果是 \(0\) 那么我们就认为答案是 -1。

然后我们进行二分答案，查询一下 \([l, mid]\)，如果异或和不是 \(0\) 就在 \([l, mid]\) 往下做，否则 \([mid + 1, r]\) 的异或和一定不是 \(0\)，在 \([mid + 1, r]\) 往下做。

这个可以主席树维护。由于主席树的优良性质，我们可以直接在主席树上二分。时间复杂度 \(\Theta((n + m) \log n)\)

喜提最优解。

aclink

CF1479E School Clubs

设势能函数 \(\phi(A) = \sum\limits_{i = 1}^n f(a_i)\)

设 \(s = \sum\limits_{i = 1}^n a_i\)。

单次操作势能函数的期望变化量必然是 \(-1\)：

\[\sum\limits_{i = 1}^n \frac{a_i}{s} \frac{1}{2}( - f(a_i) + f(1) + f(a_i - 1) + \sum\limits_{j \neq i}^{n} \frac{a_j}{s} ( - f(a_i) + f(a_i - 1) - f(a_j) + f(a_j + 1)) = -1 \]

\[\sum\limits_{i = 1}^n \frac{a_i}{s} ( 2 - f(a_i) + f(1) + f(a_i - 1) + \frac{s - a_i}{s} (f(a_i - 1) - f(a_i)) + \frac{s - a_i}{s} (f(a_i + 1) - f(a_i))) = 0 \]

\[\frac{x}{s} ( 2 - f(x) + f(1) + f(x - 1) + \frac{s - x}{s} (f(x - 1) - f(x)) + \frac{s - x}{s} (f(x + 1) - f(x))) = 0 \]

对于 \(x = 0\)，那么已经满足；对于 \(x \neq 0 :\)

\[2 s + f(1) s + (f(x - 1) - f(x)) s + (s - x) (f(x - 1) - f(x)) + (s - x) (f(x + 1) - f(x)) = 0 \]

\[f(x + 1) = \frac{- 2 s - f(1) s - (2s - x) f(x - 1) + (3s - x) f(x)}{s - x} \]

为了方便，让 \(f(1) = -2\)。并且为了让最终状态下势能函数是一定的，我们令 \(f(0) = 0\)。于是这个东西就可以递推。

注意一个细节：我们用分数表示函数，可以避免每次都求一次逆元。