题解-P6667 [清华集训2016] 如何优雅地求和 [*hard]
众所周知这题可以用斯特林数 \(m^2\) 求，但是要快速插值斯特林数等一堆东西估计过不了。
令 \(f(x) = \sum\limits_{i = 0}^{m} \binom{x}{i} s_i\)。\(\binom{x}{i}\) 是 \(i\) 次多项式，因此存在这样的 \(s\) 。
二项式反演：\(f(x) = \sum\limits_{i = 0}^{x} \binom{x}{i} s_i \Leftrightarrow s_x = \sum\limits_{i = 0}^{x} \binom{x}{i} (-1)^{x - i} f(i)\)
通过卷积可以快速得到 \(s\) 数组。
通过这个我们可以快速得到一个点的点值。
（知道这个这题就不难了）
推式子：
\[\sum\limits_{k = 0}^{n} \sum\limits_{i = 0}^{m}s_i \binom{k}{i} \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n - k}
\]
\[\sum\limits_{k = 0}^{n} \sum\limits_{i = 0}^{m}s_i \binom{k}{i} \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n - k}
\]
\[\sum\limits_{k = 0}^{n} \sum\limits_{i = 0}^{m} s_i \binom{n}{i} \binom{n - i}{k - i} x^k (1 - x)^{n - k}
\]
\[\sum\limits_{i = 0}^{m} s_i \binom{n}{i} \sum\limits_{k = i}^{n} \binom{n - i}{k - i} x^k (1 - x)^{n - k}
\]
\[\sum\limits_{i = 0}^{m} s_i \binom{n}{i} \sum\limits_{k = 0}^{n - i} \binom{n - i}{k} x^{k + i} (1 - x)^{n - k - i}
\]
\[\sum\limits_{i = 0}^{m} s_i \binom{n}{i} x^i \sum\limits_{k = 0}^{n - i} \binom{n - i}{k} x^{k} (1 - x)^{n - i - k}
\]
\[\sum\limits_{i = 0}^{m} s_i \binom{n}{i} x^i (x + 1 - x)^{n - i}
\]
\[\sum\limits_{i = 0}^{m} s_i \binom{n}{i} x^i
\]
这样就可以很方便地做了。
时间复杂度 \(\Theta(m \log m)\)
代码：
int fac[N], ifac[N];
void minit(int x) {
fac[0] = 1;
L(i, 1, x) fac[i] = (ll) fac[i - 1] * i % mod;
ifac[x] = qpow(fac[x]);
R(i, x, 1) ifac[i - 1] = (ll) ifac[i] * i % mod;
}
int fpow(int x) {
return x % 2 == 0 ? 1 : mod - 1;
}
int n, m, x, f[N], g[N], s[N], ans;
int main() {
n = read(), m = read(), x = read();
minit(m), init(m << 1);
L(i, 0, m) f[i] = (ll) ifac[i] * fpow(i) % mod;
L(i, 0, m) g[i] = (ll) ifac[i] * read() % mod;
Mul(f, g, s, m + 1, m + 1);
L(i, 0, m) s[i] = (ll) s[i] * fac[i] % mod;
int now = 1;
L(i, 0, m) (ans += (ll) now * s[i] % mod * ifac[i] % mod) %= mod, now = (ll) now * x % mod * (n - i) % mod;
cout << ans << endl;
return 0;
}
祝大家学习愉快！
