概率期望
期望dp
CF605E Intergalaxy Trips
从后往前做。类似 dijkstra 的思想，每次找到当前情况的期望距离最小值进行增广。
期望距离可以随便推推式子快速得到。
P4707 重返现世
首先我们让题目求的第 \(k\) 小变成第 \(n-k+1\) 大。
\(E(KthMax(S))=\sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-k}C(|T|−1,k−1) E(min(T))\)
\(dp_{i,j,d}\) 表示现在算第 \(i\) 个原料，现在的 \(\sum p_i=j\)，\(k=d\) 时的 \(\sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-k}C(|T|−1,k−1)\)
转移就是考虑公式 \(C_{n}^{m}=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\) ，由于还要乘上 \((-1)^{|T|-k}\), 所以\(dp_{i,j,d}=dp_{i-1,j-a_i,d-1}-dp_{i-1,j-a_i,d}\)
然后答案就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{m}{i} dp_{n,i,k}\)。这样空间爆炸，要把第一维压掉。
P6046 纯粹容器
对于每一个容器单独计算，然后枚举他能活下去的时间比 \(T\) 大的 \(T\), 然后用容斥算一下这个的概率即可。
P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅
大 水 题， \(ans = \sum\limits_{i=1}^n \frac{n}{i}\)
P3830 [SHOI2012]随机树
第一问 : 水，\(ans = \sum\limits_{i=2}^n \frac{1}{i}\)
第二问 ：令 \(cnt_i\) 为 \(i\) 个叶子结点的树有几种，\(dp_{i,j}\) 为 \(i\) 个叶子结点的树，深度为 \(j\) 的概率是多少
\(cnt_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1} cnt_j cnt_{i-j} C_{i-2}^{j-1}\)
\(dp_{i,j}= \frac{1}{cnt_i} \sum\limits_{k=1}^{i-1} \sum\limits_{t1=1}^{j} \sum\limits_{t2=1}^{j} [\max(t1,t2)=j] cnt_k cnt_{i-k} C_{i-2}^{k-1} dp_{k,t1} dp_{i-k,t2}\)。 这个东西预处理一下前缀和就可以 \(O(n^2)\) 算了。
P4284 [SHOI2014]概率充电器
首先是暴力，考虑算 \(i\) 节点 不存活 的概率。然后再换根一下就好了。
P3239 [HNOI2015]亚瑟王
George1123 AK 了, 就是说记录一下 \(dp_{i,j}\) 表示现在在算第 \(i\) 个技能，还剩下 \(j\) 轮是没有用技能的，然后转移就行了。
P3412 仓鼠找sugar II
首先考虑暴力。就是直接枚举初始节点，然后设 \(g_x\) 表示从 \(x\) 走到子节点返回的期望步数, \(f_x\) 表示 \(x\) 的子节点到他的步数期望和。
然后可以考虑转移。\(g_x = (\frac{1}{deg_x-1}\sum\limits_{v \in son_x}(deg_v-1)g_v)+2\) (用等比数列证明的) \(f_x=\sum\limits_{v \in son_x}(deg_v-1)f_v+g_v*siz_v+siz_v\)
然后对于每一个起点答案都是 \(f_x\)。
然后换根 \(dp\) 优化一下就好了
CF229E Gifts
这个东西其实很简单。首先找到从大到小的 \(n\) 个数。然后找到可能 算在答案和不算在答案 的分界线上的值(设为 \(col\)) 的点的个数 \(sum\)，还有答案需要的 \(cnt\)。
然后用背包统计一下答案 (\(dp_{i, j}\) 表示已经选择了现在在算第 \(i\) 个点，然后已经有了 \(j\) 个分界点上的点的方案的概率和) 然后除以 \(C_{sum}^{cnt}\)。
CF1194F Crossword Expert
这道题目有个很显然的 \(n^2\) 的 \(dp\), 这个东西用组合数递推优化即可。
AT4513 AGC030D Inversion Sum
这题又一个很 \(\texttt{old}\) 的 \(trick\) 就是说要分开考虑！\(f_{i,j}\) 表示 \(a_i < a_j\) 的概率。
每次修改最多更改 \(2n\) 个 \(f\) 的值，来保证复杂度正确。
CF498B Name That Tune
首先有一个十分显然的 \(n^3\) dp 式子，随便优化就可以 \(n^2\) 了。
P3750 [六省联考2017]分手是祝愿
考虑 \(i\) 转移到 \(i - 1\) 需要的时间，设为 \(f_i\)。\(f_i = 1 + \frac{n}{n - i} (f_i + f_{i + 1})\) 得出 \(f_i = \frac{(n - i) \times f_{i + 1}}{i}\)。
答案就是 \(k + \sum\limits_{i = k + 1}^{cnt} f_i\)。
