推式子题

P5655 基础数论函数练习题
首先 \(\operatorname{lcm}(a_l, a_{l+1},a_{l+2},..,a_r)\) 可以分拆成 \(\prod\limits_{i=l}^{r} b_i\)
可以让 \(b_i\) 为前面几个 \(b\) 中 不包含 的因数。即令 \(b_i\) 为 \(\dfrac{a_i}{\gcd(\prod\limits_{j>i} b_j,a_i)}\)
考虑在后面增加一个 \(a_{k+1}\)，那么令 \(b_{k+1}=a_{k+1}\)，然后考虑前面 \(b\) 数组的变化。设 \(b'\) 为变化后的数组。
然后 \(b'_i=\dfrac{b_i}{\gcd(b_i,a_{k+1})}\)。令 \(c_i=\dfrac{b_i}{b'_i}\), \(c_i=\gcd(b_i,a_{k+1})\)。显然如果前面的数除过一个数，这个数就不会再除一遍，于是得到 \(c_i=\dfrac{b_i}{b'_i}\), \(c_i=\gcd(b_i,\dfrac{a_{k+1}}{\prod\limits_{j>i} c_j})\)。
这样子是 \(O(Tn^2\log V)\)可以通过对于每一个 \(r\) 与处理 \(ans\) 得到 \(90\) 分的好成绩。然后考虑优化。\(c\) 中最多会有 \(log a_i\) 个非 1 的数，所以要考虑只计算这 \(log\) 个东西。
设 \(s_i = \prod_{i=i}^{k} a_i \mod a_{k+1}\)而 \(\prod_{i=i}^{k} c_i = \gcd(s_i, a_{k+1})\)。\(c_i \ne c_{i+1}\) 当且仅当 \(\gcd(s_i, a_{k+1}) \ne \gcd(s_{i+1}, a_{k+1})\)。
\(\gcd(s_i, a_{k+1}) \ne \gcd(s_{i+1}, a_{k+1})\) 就是说 \(s_i \mod \gcd(s_i, a_{k+1}) \ne 0\)。这样子就是 \(O(Tn^2+Tn\log^2 V)\) 的了。

P5023 填数游戏
巨大的分类讨论题。主要分为 \(4\) 类：(n = m)
\(f_{1, 2} = f_{2, 1}\); \(f_{1, 3} = f_{2, 2} = f_{3, 1}\); \(f_{1, 3} = f_{2, 2}\); \(f_{2, 2} = f_{3, 1}\)
后两个答案一样，可以直接乘以 \(2\)。
(n = m + 1 也是同理)， 剩下的 \(f_{n = m + k} = f_{n = m + k - 1} \times 3\)

CF1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence
矩乘算出 \(f_n\) 在答案中算了多少次。
然后大概就是解一个 \(x ^ k = p\) 的方程
模数是 \(998244353\), 原根为 \(3\)。那么我们可以把 \(p\) 用 \(3^a\) 代替。\(a\) 用 BSGS 求解。那么 \(x = 3 ^ {\frac{p}{k}}\)。这样子，求出 \(k\) 关于 \(998244352\) 的逆元即可。若不存在逆元输出 -1。

CF1392H ZS Shuffles Cards
推导。重点：差分！

CF1436F Sum Over Subsets
统计每一个数出现的次数，然后统计 \(gcd = x\) 的时候答案是多少。设 \(gcd = x\) 时所有数和为 \(a\), 平方和为 \(b\), 有 \(S\) 个数。答案为 \(a\sum\limits_{i = 0}^{S - 2} C_{S - 2} ^ i (i + 1) + b \sum\limits_{i = 0}^{S - 1} C_{S - 1}^{i}\)。然后考虑 \(C_{n}^{i} = C_{n}^{n - i}\)。因此答案为 \(a \frac{S}{2} 2^{S - 2} + b \frac{S - 1}{2} 2^{S - 1}\)

CF1344D Résumé Review
这题考虑让一个 \(a_i\) 增加 \(1\)。然后增量是越来越小的。可以用堆维护，但是这样子会 TLE。然后二分斜率，然后再在里面套个二分即可。

P5824 十二重计数法
除了第 \(10\) 问都是很简单的东西。第 \(10\) 问考虑枚举装了 \(i\) 个球的盒子个数，这个东西是一个下降的序列，于是就可以看作一个集合。
可以看作有 \(m\) 个有无限个的物品，要求总和是 \(n\) 。这个东西上付公主的背包即可。

P7327 [w33z-2018] Dream and Discs
较为简单的推式子题。link