笔记-P7275 计树

首先可以把答案看成一些值域连通块，连通块之间连边。

如果我们钦定了一些连通块，那么我们算的 \(g(S) = \sum\limits_{T \subseteq S} f(T)\)

子集反演：\(f(S) \sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|S| - |T|} g(T)\)

然后考虑这个贡献系数。\(w(S) = \sum\limits_{S \subseteq T} (-1)^{|T|-|S|} f(T)\)

一个长度为 \(x (x \ge 2)\) 的连通块的容斥系数是 \(w(x) = 1 - \sum\limits_{i = 2}^{x - 2} w(x - i)\)

可以认为是每切一刀容斥系数就乘以 \(-1\)。于是可以得到递推式 \(w(x) = w(x - 1) - w(x - 2)\)。

让 \(B_k = n^k k w(k)\)，答案就是 \(\frac{1}{n^2} \sum B(x)^i [x^n] = \frac{1}{n^2} \frac{1}{1 - B(x)} [x^n]\) 。