洛谷 P1313 计算系数

                               

  要求二项式的幂的某个系数的话，到了初中就应该会知道可以用 杨辉三角 这个东西来求系数。举几个例子吧：

                    1                    
                 1     1                  
              1     2     1             (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
           1     3     3     1          (a+b)^3=a^3+3ba^2+3ab^2+b^3
        1     4     6     4     1                ……                
     1     5     10    10    5    1              ……          

  根据这两个例子就能看出：杨辉三角的第 n 行对应的就是 （a+b）的 n-1 次方的各项系数。再看杨辉三角的规律：每一项都是这一项岁对应的上面两个数的和，所以我们可以打印杨辉三角，在做些运算就可以A掉这个题啦。

  先说怎么求杨辉三角，一般都是定义一个二维数组，假设为 a[][];根据杨辉三角的规律，可以得到一个递推式：

                                  a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];

  不要忘了先将 a[1][1]赋值为 1

代码：

 

    a[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=k+1;++i) // k是（a+b）的次数
    {
        for(int j=1;j<=k+1;++j)
        {
            a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
        }
    }

 

注意：i 要从2开始循环，因为 a[1][1]已经赋值了，如 i 从1开始的话，a[1][1]会被重新赋值为0，这样打印出来就都是0；

  虽然这种打印杨辉三角的方法没有任何问题，但是看数据范围：

              

 

  k≤10000，这样的话就数组就至少要开 a[10000][10000];而且仅是 int 类型的话这个二维数组所占内存为：                                      10000×10000×4÷1024÷1024≈381.47MB；

  将近是内存限制的3倍，这肯定不行，所以就有了另一种内存占用比较少的方法：既然我们只需要杨辉三角的第 k+1 行，所以我们可以定义一个一维数组来存储 k=1时的数，推出 k=2时的数后，再将这个一维数组更新，这样不断更新来减少内存；

  代码：

    a[1]=1; // 依旧要赋值为1
    b[1]=1; // 同上
    for(int i=2;i<=k+1;++i) // i代表 当（a+b）为 i 次方时
    {
        for(int j=2;j<=i+1;++j) // 当（a+b）为 i 次方时，展开后一共会有 i+1 项，因为第一项的系数始终为1，所以数组从 2 到 i+1 更新
        {
            a[j]=b[j-1]+b[j]; // 递推式
        }
        for(int j=2;j<=i+1;++j) // 将本次循环所更新后的数储存，以便下一次的递推
        {
            b[j]=a[j]; // 进行赋值
        }
    }

  定义了两个数组，a[10010] 和 b[10010]，a来存储当前的数值，b来存储上一次的数值，用来递推。所以最终a数组存储的就是（a+b）^k的每项系数。

  （a+b）^k的系数求出来后，不要忘了题目中要求求的是（by+ax）^k展开后 x^n*y^m项的系数。这个系数其实就是b^m*a^n*a[m+1]或者是b^m*a^n*a[n+1];

完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
long long a[10010];
long long b[10010];
const long long mod=10007;// 要求对10007取余
int main()
{
    a[1]=1;
    b[1]=1;
    long long a2,b2,a1,b1,k,n,m;
    cin>>a1>>b1>>k>>n>>m;
    if(n==0 && m==0) // 特判
    {
        cout<<"0";
        return 0;
    }
    a1%=mod,b1%=mod;
    a2=a1,b2=b1;
    for(int i=2;i<=k+1;++i)
    {
        for(int j=2;j<=i+1;++j)
        {
            a[j]=(b[j-1]+b[j])%mod; // 分步取模，防止炸long long
            a[j]%=mod;
        }
        for(int j=2;j<=i+1;++j)
        {
            b[j]=a[j]%mod;
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        a1*=a2;
        a1%=mod;
    }
    for(int i=2;i<=m;++i)
    {
        b1*=b2;
        b1%=mod;
    }
    long long ans=((a[m+1]*a1)%mod*b1)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}