如何利用多个环境光传感器联合判别光线方向

最近遇到一个有趣的问题，如何实现对于光线方向的判别？一般来说，环境光传感器只能感受到光的强度，无法获得光线的方向。但是经过调查，环境光传感器输出的数值除了与光照强度有关，还与照射传感器的方向有关。

如下图所示，垂直照射传感器接收平面时响应最大，而光线平行于平面时，则没有读数。可以利用这个特性，将多个传感器组成阵列，联合判别光线方向。

问题描述

现有某个位于 $x,y$ 的光源，沿负 y 轴方向发射强度为 $c$ 的光线；
多个传感器间隔 $x_0$ 一字排开，则第 $k$ 个传感器位置为 $k{x}_0,k=0,1,2,\dots$

传感器响应函数为 $f(c,\theta )$，其中 $\theta$ 为入射角度，$c$ 为入射光强。

为了简化问题，这里考虑了2d的情况，并且认为传感器的响应函数为二次函数：$$f(c,\theta )=c(1-(\frac{2\theta }{\pi }{)}^2)$$
其中 $\theta =\arctan (\frac{k{x}_0-x}{y})$.
要根据每个传感器的值 $f_k$，获取光源的位置 $x,y$ 和强度 $c$。

解决思路（略）

这个问题其实就是求解非线性的方程组，可以使用非线性最小二乘拟合。

最小二乘即最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
形式为求得数据与实际数据之间误差的平方和：$\sum (y_i-f(x_i){)}^2$
可以理解为，对于未知的函数 $f(x)$，有一组自变量 $x_i$ 对应观测值 $y_i$
对于非线性最小二乘，$f(x)$ 无法表示为线性关系，通常使用迭代法，找一个 $x_0$，然后不断寻找增量 $\mathrm{\Delta }x$, 使代价函数减小。

在这个问题中，“未知函数”由要求的未知量决定，$x_i,y_i$ 为传感器序号和传感器数值。

scipy.optimize.curve_fit 是专门用于求解非线性最小二乘的函数🥳，最后我用这个尝试了一下，效果还不错！代码放在这里。

讨论

无噪声

有一定噪声

默认迭代次数内可能无法收敛，可以手动调整 maxfev=5000；还有，函数设置中，也避免梯度消失的情况，传感器只对入射角度在 $(-\pi /2,\pi /2)$ 内的光线有输出，其余为 0，但是这样设置的话有可能存在梯度消失的问题。

传感器间距、数目越大，分辨率越高。如果光线位置距离传感器来说很远，那么所有的传感器获得的数值相差无几，就会导致估计得到的结果与实际差距很大，或者达到最大迭代次数仍无法求出结果。

容忍噪声的程度取决于噪声是否不会破坏传感器感光的大体趋势，即传感器读数大体上应该根据入射角度的增大而减小，如果噪声干扰了这个趋势就会无法判别。这说明，如果增大传感器间距和数目，也可增强克服噪声的能力。