[PKUWC2018] 猎人杀

\(\text{Problem}:\)[PKUWC2018] 猎人杀

\(\text{Solution}:\)

将操作方式改为：每次都由你（即 \(n\) 个猎人外的人）随机选择一个猎人开枪，如果选择的猎人死亡就重复以上过程，否则结束。不难发现，这种操作方式与题目给出的方式是等价的（即每次操作中，活着的猎人被击中概率的比值相同）。

考虑容斥。设 \(f_{T}\) 表示钦定集合 \(T\) 内的人都在 \(1\) 号后死亡的概率，\(S\) 表示除 \(1\) 号以外人的全集，有：

\[ans=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{\lvert T\rvert}f_{T} \]

记 \(W_{T}=\sum\limits_{i\in T}w_{i}\)，将 \(f_{T}\) 展开表示，有：

\[\begin{aligned} f_{T}&=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{W_{S}-W_{T}}{W_{S}+w_{1}}\right)^{i}\frac{w_{1}}{W_{S}+w_{1}}\\ &=\frac{w_{1}}{W_{S}+w_{1}}\sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{W_{S}-W_{T}}{W_{S}+w_{1}}\right)^{i} \end{aligned} \]

由生成函数的知识，易知当 \(-1<x<1\) 时，\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^{i}=\frac{1}{1-x}\)，故有：

\[f_{T}=\frac{w_{1}}{W_{S}+w_{1}}\cdot\frac{1}{1-\frac{W_{S}-W_{T}}{W_{S}+w_{1}}}=\frac{w_{1}}{w_{1}+W_{T}} \]

发现 \(f_{T}\) 的值只与 \(W_{T}\) 有关，而 \(\sum_{i=1}^{n}w_{i}\leq 10^{5}\)，故考虑枚举 \(W_{T}\) 的大小，有：

\[ans=\sum\limits_{i=1}^{W_{S}}\frac{w_{1}}{w_{1}+i}\sum\limits_{W_{T}=i}(-1)^{\lvert T\rvert} \]

存在 \(W_{T}=i\) 的形式，故考虑设计生成函数 \(F(x)=\prod\limits_{i=2}^{n}(1-x^{w_{i}})\)，有：

\[ans=\sum\limits_{i=1}^{W_{S}}\frac{w_{1}}{w_{1}+i}F(x)[x^{i}] \]

对 \(F(x)\) 做分治乘法即可，总时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

\(\text{Code}:\)

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=265010, Mod=998244353;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,w[N];
int rev[N],r[24][2];
inline int ksc(int x,int p) { int res=1; for(;p;p>>=1, x=1ll*x*x%Mod) if(p&1) res=1ll*res*x%Mod; return res; }
inline void Get_Rev(int T) { for(ri int i=0;i<T;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(T>>1):0); }
inline void DFT(int T,vector<int> &s,int type)
{
	for(ri int i=0;i<T;i++) if(rev[i]<i) swap(s[i],s[rev[i]]);
	for(ri int i=2,cnt=1;i<=T;i<<=1,cnt++)
	{
		int wn=r[cnt][type];
		for(ri int j=0,mid=(i>>1);j<T;j+=i)
		{
			for(ri int k=0,w=1;k<mid;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
			{
				int x=s[j+k], y=1ll*w*s[j+mid+k]%Mod;
				s[j+k]=x+y;
				if(s[j+k]>=Mod) s[j+k]-=Mod;
				s[j+mid+k]=x-y;
				if(s[j+mid+k]<0) s[j+mid+k]+=Mod;
			}
		}
	}
	if(!type) for(ri int i=0,inv=ksc(T,Mod-2);i<T;i++) s[i]=1ll*s[i]*inv%Mod;
}
inline void NTT(int n,int m,vector<int> &A,vector<int> &B)
{
	int len=n+m;
	int T=1;
	while(T<=len) T<<=1;
	Get_Rev(T);
	A.resize(T), B.resize(T);
	DFT(T,A,1), DFT(T,B,1);
	for(ri int i=0;i<T;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%Mod;
	DFT(T,A,0);
	A.erase(A.begin()+len+1,A.end());
}
void Solve(int l,int r,vector<int> &F)
{
	if(l==r)
	{
		F.resize(w[l]+1);
		F[0]=1, F[w[l]]=Mod-1;
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	Solve(l,mid,F);
	vector<int> C;
	Solve(mid+1,r,C);
	NTT(F.size()-1,C.size()-1,F,C);
}
signed main()
{
	r[23][1]=ksc(3,119), r[23][0]=ksc(ksc(3,Mod-2),119);
	for(ri int i=22;~i;i--) r[i][0]=1ll*r[i+1][0]*r[i+1][0]%Mod, r[i][1]=1ll*r[i+1][1]*r[i+1][1]%Mod;
	n=read();
	int sum=0;
	for(ri int i=1;i<=n;i++) w[i]=read(),sum+=w[i];
	if(n==1) return puts("1")&0;
	vector<int> F;
	Solve(2,n,F);
	int ans=0;
	for(ri int i=0;i<=sum-w[1];i++)
	{
		int gg=1ll*w[1]*ksc(w[1]+i,Mod-2)%Mod;
		ans=(ans+1ll*gg*F[i]%Mod)%Mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}