[PKUSC2018] 神仙的游戏

\(\text{Problem}:\)[PKUSC2018] 神仙的游戏

\(\text{Solution}:\)

\(\text{border}\) 的性质：若字符串 \(s\) 有一个长度为 \(len\) 的 \(\text{border}\)，那么 \(n-len\) 为字符串 \(s\) 的一个周期。

对于本题，即忽略问号后，对于所有 \(x\)，若满足 \(x\mid abs(i-j)\)，有 \(s_{i}\equiv s_{j}\)。朴素的做法是 \(O(n^2)\) 枚举 \(i,j\) 并计算答案。

考虑优化。设 \(f_{i}\) 表示距离为 \(i\) 的 \(0,1\) 点对的个数。显然当 \(f_{i}=0\) 时，\(i\) 对答案有贡献。设 \(F(x)\) 为序列 \(f_{i}\) 的生成函数。设 \(A(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}[s_{i}=0]x^{i}\)，\(B(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}[s_{i}=1]x^{-i}\)，则有 \(F(x)=A(x)B(x)\)。

发现可能有 \(x\) 的负数次系数，故将 \(B(x)\) 整体右移 \(n-1\) 位进行计算。利用 \(\text{NTT}\) 即可在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内求解。

私货：有关模式串匹配利用多项式求解入门

\(\text{Code}:\)

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=1100010, Mod=998244353;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int n; char s[N];
int rev[N],r[24][2];
inline int ksc(int x,int p) { int res=1; for(;p;p>>=1, x=1ll*x*x%Mod) if(p&1) res=1ll*res*x%Mod; return res; }
inline void Get_Rev(int T) { for(ri int i=0;i<T;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(T>>1):0); }
inline void DFT(int T,vector<int> &s,int type)
{
	for(ri int i=0;i<T;i++) if(rev[i]<i) swap(s[i],s[rev[i]]);
	for(ri int i=2,cnt=1;i<=T;i<<=1,cnt++)
	{
		int wn=r[cnt][type];
		for(ri int j=0,mid=(i>>1);j<T;j+=i)
		{
			for(ri int k=0,w=1;k<mid;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
			{
				int x=s[j+k], y=1ll*w*s[j+mid+k]%Mod;
				s[j+k]=(x+y)%Mod;
				s[j+mid+k]=x-y;
				if(s[j+mid+k]<0) s[j+mid+k]+=Mod;
			}
		}
	}
	if(!type) for(ri int i=0,inv=ksc(T,Mod-2);i<T;i++) s[i]=1ll*s[i]*inv%Mod;
}
inline void NTT(int n,int m,vector<int> &A,vector<int> B)
{
	int len=n+m;
	int T=1;
	while(T<=len) T<<=1;
	Get_Rev(T);
	A.resize(T), B.resize(T);
	DFT(T,A,1), DFT(T,B,1);
	for(ri int i=0;i<T;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%Mod;
	DFT(T,A,0);
}
signed main()
{
	r[23][1]=ksc(3,119), r[23][0]=ksc(ksc(3,Mod-2),119);
	for(ri int i=22;~i;i--) r[i][0]=1ll*r[i+1][0]*r[i+1][0]%Mod, r[i][1]=1ll*r[i+1][1]*r[i+1][1]%Mod;
	scanf("%s",s);
	n=strlen(s);
	vector<int> A,B;
	A.resize(n), B.resize(n);
	for(ri int i=0;i<n;i++)
	{
		if(s[i]=='0') A[i]++;
		if(s[i]=='1') B[n-1-i]++;
	}
	NTT(n,n,A,B);
	long long ans=1ll*n*n;
	for(ri int i=1;i<n;i++)
	{
		int flg=0;
		for(ri int j=i;j<n;j+=i) flg|=(A[n-1+j]+A[n-1-j]>0);
		if(!flg) ans^=(1ll*(n-i)*(n-i));
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}