[THUSC2016] 成绩单

\(\text{Problem}:\)[THUSC2016] 成绩单

\(\text{Solution}:\)

对于此类抽取一段区间计算贡献后将两端合并的问题，考虑设计区间 \(dp\)。设 \(f_{l,r}\) 表示区间 \([l,r]\) 的最小代价，\(g_{l,r,p,q}\) 表示区间 \([l,r]\) 还没抽取的成绩单中，最大值为 \(p\)，最小值为 \(q\) 的最小代价。易知 \(g\rightarrow f\) 的更新为：

\[f_{l,r}=\min\{g_{l,r,p,q}+a+b\times (p-q)^{2}\} \]

即 \(f_{l,r}\) 区间内有若干段已经抽取的区间，而剩余的区间必然是连续的，故从 \(k-1\) 转移到 \(k\) 即可。

现在考虑 \(g\) 的转移，分为两类：

• 在区间 \([l,r]\) 右端合并一段已经抽取完的区间 \([r+1,k]\)，将 \(f_{r+1,k}\) 加入 \(g_{l,r}\) 中。
• 在区间 \([l,r]\) 右端加入 \(r+1\)（不抽取 \(r+1\)），更新 \(p\) 和 \(q\) 的值。

注意 \(p,q\) 两维值域较大，需要对 \(w_{i}\) 先进行离散化后再计算。总时间复杂度 \(O(n^{5})\)，且常数极小，可以通过。

\(\text{Code}:\)

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=51;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,A,B,a[N],ta[N],tb[N];
int f[N][N],g[N][N][N][N];
inline int gmax(int x,int y) { return x>y?x:y; }
inline int gmin(int x,int y) { return x<y?x:y; }
inline void cmax(int &x,int y) { x=(x>y)?x:y; }
inline void cmin(int &x,int y) { x=(x<y)?x:y; }
signed main()
{
	n=read(), A=read(), B=read();
	for(ri int i=1;i<=n;i++) a[i]=ta[i]=read();
	sort(ta+1,ta+1+n);
	int pp=unique(ta+1,ta+1+n)-ta-1;
	for(ri int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=a[i];
		a[i]=lower_bound(ta+1,ta+1+pp,a[i])-ta;
		tb[a[i]]=x;
	}
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	memset(g,0x3f,sizeof(g));
	for(ri int i=1;i<=n;i++) g[i][i][a[i]][a[i]]=0, f[i][i]=A;
	for(ri int len=2;len<=n;len++)
	for(ri int i=1;i+len-1<=n;i++)
	{
		int j=i+len-1;
		for(ri int p=1;p<=pp;p++)
		for(ri int q=1;q<=p;q++)
		for(ri int k=i;k<j;k++) cmin(g[i][j][p][q],g[i][k][p][q]+f[k+1][j]);
		for(ri int p=1;p<=pp;p++)
		for(ri int q=1;q<=p;q++)
		{
			int &to=g[i][j][gmax(p,a[j])][gmin(q,a[j])];
			cmin(to,g[i][j-1][p][q]);
		}
		for(ri int p=1;p<=pp;p++)
		for(ri int q=1;q<=p;q++) cmin(f[i][j],g[i][j][p][q]+A+B*(tb[p]-tb[q])*(tb[p]-tb[q]));
	}
	printf("%d\n",f[1][n]);
	return 0;
}