[HAOI2018] 染色

\(\text{Problem}:\)[HAOI2018] 染色

\(\text{Solution}:\)

下文令 \(up=\min\{m,\left\lfloor \dfrac{n}{S} \right\rfloor\}\)。设 \(F_{i}\) 表示恰好出现 \(S\) 次的颜色有 \(i\) 种的方案数，\(G_{i}\) 表示钦定出现 \(S\) 次的颜色有 \(i\) 种的方案数，有：

\[G_{i}=\sum\limits_{j=i}^{up}\binom{j}{i}F_{j} \]

由二项式定理，有：

\[F_{i}=\sum\limits_{j=i}^{up}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}G_{j} \]

考虑求出 \(G_{i}\)。根据其组合意义，在 \(m\) 个颜色中选出 \(i\) 个，再选出 \(iS\) 个位置放它们（这里还有一个多重排列），剩下 \(n-iS\) 个位置随便放 \(m-i\) 个颜色。故有：

\[G_{i}=\binom{m}{i}\binom{n}{iS}\cfrac{(iS)!}{(S!)^{i}}(m-i)^{n-iS} \]

现在要求的答案为：

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=0}^{up}w_{i}F_{i}&=\sum\limits_{i=0}^{up}\cfrac{w_{i}}{i!}\sum\limits_{j=i}^{up}\cfrac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!}\cdot (G_{j}{j!})\\ &=\sum\limits_{i=0}^{up}\cfrac{w_{i}}{i!}\sum\limits_{j=i}^{up}A_{j-i}B_{j}\\ &=\sum\limits_{i=0}^{up}\cfrac{w_{i}}{i!}\sum\limits_{j=0}^{up-i}A_{j}B_{i+j}\\ &=\sum\limits_{i=0}^{up}\cfrac{w_{i}}{i!}\sum\limits_{j=0}^{up-i}A_{j}B^{R}_{up-i-j}\\ &=\sum\limits_{i=0}^{up}\cfrac{w_{i}}{i!}\cdot C_{up-i} \end{aligned} \]

其中 \(B^{R}\) 表示 \(B\) 的系数反转得到的序列。总时间复杂度 \(O(m\log m)\)。

\(\text{Code}:\)

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=265010, M=10000010, Mod=1004535809;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,m,S,up,w[N];
vector<int> A,B;
int rev[N],r[22][2],fac[M],inv[M];
inline int ksc(int x,int p) { int res=1; for(;p;p>>=1, x=1ll*x*x%Mod) if(p&1) res=1ll*res*x%Mod; return res; }
inline void Get_Rev(int T) { for(ri int i=0;i<T;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(T>>1):0); }
inline int C(int x,int y) { if(x<y||x<0||y<0) return 0; return 1ll*fac[x]*inv[x-y]%Mod*inv[y]%Mod; }
inline void DFT(int T,vector<int> &s,int type)
{
	for(ri int i=0;i<T;i++) if(rev[i]<i) swap(s[i],s[rev[i]]);
	for(ri int i=2,cnt=1;i<=T;i<<=1,cnt++)
	{
		int wn=r[cnt][type];
		for(ri int j=0,mid=(i>>1);j<T;j+=i)
		{
			for(ri int k=0,w=1;k<mid;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
			{
				int x=s[j+k], y=1ll*w*s[j+mid+k]%Mod;
				s[j+k]=(x+y)%Mod;
				s[j+mid+k]=x-y;
				if(s[j+mid+k]<0) s[j+mid+k]+=Mod;
			}
		}
	}
	if(!type) for(ri int i=0,inv=ksc(T,Mod-2);i<T;i++) s[i]=1ll*s[i]*inv%Mod;
}
inline void NTT(int n,int m,vector<int> &A,vector<int> B)
{
	int len=n+m;
	int T=1;
	while(T<=len) T<<=1;
	Get_Rev(T);
	A.resize(T), B.resize(T);
	for(ri int i=n+1;i<T;i++) A[i]=0;
	for(ri int i=m+1;i<T;i++) B[i]=0;
	DFT(T,A,1), DFT(T,B,1);
	for(ri int i=0;i<T;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%Mod;
	DFT(T,A,0);
}
signed main()
{
	r[21][1]=ksc(3,479), r[21][0]=ksc(ksc(3,Mod-2),479);
	for(ri int i=20;~i;i--) r[i][0]=1ll*r[i+1][0]*r[i+1][0]%Mod, r[i][1]=1ll*r[i+1][1]*r[i+1][1]%Mod;
	fac[0]=1;
	n=read(), m=read(), S=read();
	up=min(m,n/S)+1;
	for(ri int i=0;i<=m;i++) w[i]=read();
	int UP=max(n,m);
	for(ri int i=1;i<=UP;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
	inv[UP]=ksc(fac[UP],Mod-2);
	for(ri int i=UP;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%Mod;
	A.resize(up), B.resize(up);
	for(ri int i=0;i<up;i++)
	{
		A[i]=((i&1)?(-1):(1))*inv[i];
		if(A[i]<0) A[i]+=Mod;
		B[i]=1ll*C(m,i)*C(n,i*S)%Mod*fac[i*S]%Mod*ksc(ksc(fac[S],i),Mod-2)%Mod*ksc(m-i,n-i*S)%Mod*fac[i]%Mod;
	}
	reverse(B.begin(),B.end());
	NTT(up,up,A,B);
	int ans=0;
	for(ri int i=0;i<up;i++) ans=(ans+1ll*w[i]*inv[i]%Mod*A[up-i-1]%Mod)%Mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}