[CF960G] Bandit Blues

\(\text{Problem}:\)Bandit Blues

\(\text{Solution}:\)

设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数有 \(j\) 个前缀最大值的排列数。考虑每次加入一个最小数（即 \(1\)），有：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+(i-1)f_{i-1,j} \]

由转移，易知 \(f_{i,j}={i\brack j}\)。枚举最大值的位置，得到答案为：

\[\sum\limits_{i=0}^{n}{i\brack a-1}\times {n-i-1\brack b-1}\times\binom{n-1}{i} \]

计算第 \(a-1\) 和第 \(b-1\) 列第一类斯特林数即可解决本题，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。不过，还有更为简单且常数较小的做法。

由 \(i+n-i-1=n-1\)，得到答案为：

\[{n-1\brack a+b-2}\times\binom{a+b-2}{a-1} \]

考虑其组合意义，在 \(n-1\) 个数中选 \(i\) 个组成 \(a-1\) 个环，剩下 \(n-i-1\) 个组成 \(b-1\) 个环。就是 \(n-1\) 个数组成 \(a+b-2\) 个环，从中选出 \(a-1\) 个环是由钦定的 \(i\) 个数组成的的方案数。

现在只需要求第 \(n-1\) 行第一类斯特林数即可，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

\(\text{Code}:\)

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=265010, Mod=998244353;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,A,B;
int rev[N],fac[N+5],inv[N+5],r[24][2];
vector<int> F;
inline int ksc(int x,int p) { int res=1; for(;p;p>>=1, x=1ll*x*x%Mod) if(p&1) res=1ll*res*x%Mod; return res; }
inline void Get_Rev(int T) { for(ri int i=0;i<T;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(T>>1):0); }
inline void DFT(int T,vector<int> &s,int type)
{
	for(ri int i=0;i<T;i++) if(rev[i]<i) swap(s[i],s[rev[i]]);
	for(ri int i=2,cnt=1;i<=T;i<<=1,cnt++)
	{
		int wn=r[cnt][type];
		for(ri int j=0,mid=(i>>1);j<T;j+=i)
		{
			for(ri int k=0,w=1;k<mid;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
			{
				int x=s[j+k], y=1ll*w*s[j+mid+k]%Mod;
				s[j+k]=(x+y)%Mod;
				s[j+mid+k]=x-y;
				if(s[j+mid+k]<0) s[j+mid+k]+=Mod;
			}
		}
	}
	if(!type) for(ri int i=0,inv=ksc(T,Mod-2);i<T;i++) s[i]=1ll*s[i]*inv%Mod;
}
inline void NTT(int n,int m,vector<int> &A,vector<int> &B)
{
	int len=n+m;
	int T=1;
	while(T<=len) T<<=1;
	Get_Rev(T);
	A.resize(T), B.resize(T);
	for(ri int i=n+1;i<T;i++) A[i]=0;
	for(ri int i=m+1;i<T;i++) B[i]=0;
	DFT(T,A,1), DFT(T,B,1);
	for(ri int i=0;i<T;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%Mod;
	DFT(T,A,0);
}
void Solve(int n,vector<int> &F)
{
	if(!n) { F[0]=1; return; }
	if(n&1)
	{
		Solve(n-1,F);
		for(ri int i=n;i;i--) F[i]=(1ll*F[i]*(n-1)%Mod+F[i-1])%Mod;
		F[0]=1ll*F[0]*(n-1)%Mod;
		return;
	}
	int m=n/2;
	Solve(m,F);
	vector<int> A,B;
	A.resize(m+1), B.resize(m+1);
	for(ri int i=0,now=1;i<=m;i++)
	{
		A[i]=1ll*F[m-i]*fac[m-i]%Mod;
		B[i]=1ll*now*inv[i]%Mod;
		now=1ll*now*m%Mod;
	}
	NTT(m,m,A,B);
	vector<int> G;
	G.resize(m+1);
	for(ri int i=0;i<=m;i++) G[i]=1ll*A[m-i]*inv[i]%Mod;
	NTT(m,m,F,G);
}
signed main()
{
	r[23][1]=ksc(3,119), r[23][0]=ksc(ksc(3,Mod-2),119);
	for(ri int i=22;~i;i--) r[i][0]=1ll*r[i+1][0]*r[i+1][0]%Mod, r[i][1]=1ll*r[i+1][1]*r[i+1][1]%Mod;
	fac[0]=1;
	for(ri int i=1;i<=N;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
	inv[N]=ksc(fac[N],Mod-2);
	for(ri int i=N;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%Mod;
	n=read(), A=read(), B=read();
	if(!A || !B || A+B-2>n-1) return puts("0")&0;
	F.resize(n);
	Solve(n-1,F);
	printf("%d\n",1ll*F[A+B-2]*fac[A+B-2]%Mod*inv[A-1]%Mod*inv[B-1]%Mod);
	return 0;
}