数位dp通用模板

记忆化搜索：dfs 

dfs框架为：1、结束条件  2、扩展状态（枚举可能情况） 3、返回结果

数位dp通常使用dfs来实现

 

二进制代表状态：

0代表不在集合中，1代表在集合中。

判断第k个元素是否在集合中： mask & (1 << k) 是否为1

将第k个元素加入到集合中： mask | (1 << k)

 

完整的模板大概如下：

class Solution:
    def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
        s = str(n)

        @cache
        def f(i: int, mask: int, is_limit: bool, is_num: bool) -> int:
            if i == len(s):
                return int(is_num)

            res = 0
            if not is_num:
                res = f(i + 1, mask, False, False)

            low = 0 if is_num else 1
            up = int(s[i]) if is_limit else 9
            for d in range(low, up + 1):
                if (mask >> d & 1) == 0:
                    res += f(i + 1, mask | (1 << d), is_limit and d == up, True)

            return res

        return n - f(0, 0, True, False)

参数i:当前搜索到了第i个位置

　　mask：当前集合中的状态

　　is_limit :当前位置填入数字的时候是否收到约束，比如最大数为123，若我们第一位填了1，第二位最大只能填入2，此时is_limit为true 若我们第一位填了0，则第二位可以填1 - 9，此时is_limit为false。

　　is_num:当前位置之前是否已经填了元素，若为false，则可以跳过。如n = 1125， 若is_num连续三次为false则可以枚举个位，is_num连续两次为false可以枚举十位

 

例题：

233. 数字 1 的个数

 

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        s = str(n)

        @cache
        def f(i: int, cnt: int, is_limit: bool):
            if i == len(s):
                return cnt
            
            res = 0
            up = int(s[i]) if is_limit else 9

            for d in range(up + 1):
                res += f(i + 1, cnt + (d == 1), is_limit and d == up)

            return res
        
        return f(0, 0, True)

            

 

 

902. 最大为 N 的数字组合

 

class Solution:
    def atMostNGivenDigitSet(self, digits: List[str], n: int) -> int:
        s = str(n)

        @cache
        def f(i: int, is_limit: bool, is_num: bool) -> int:
            if i == len(s):
                return int(is_num)

            res = 0
            if not is_num:
                res = f(i + 1, False, False)
            
            up = s[i] if is_limit else '9'
            for d in digits:
                if d > up: break
                res += f(i + 1, is_limit and d == up, True)
            
            return res

        return f(0, True, False)

 

 

 

1012. 至少有 1 位重复的数字

 

class Solution:
    def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
        s = str(n)

        @cache
        def f(i: int, mask: int, is_limit: bool, is_num: bool) -> int:
            if i == len(s):
                return int(is_num)

            res = 0
            if not is_num:
                res = f(i + 1, mask, False, False)

            low = 0 if is_num else 1
            up = int(s[i]) if is_limit else 9
            for d in range(low, up + 1):
                if (mask >> d & 1) == 0:
                    res += f(i + 1, mask | (1 << d), is_limit and d == up, True)

            return res

        return n - f(0, 0, True, False)

 

 

 

600. 不含连续1的非负整数

 

class Solution:
    def findIntegers(self, n: int) -> int:
        s = str(bin(n))[2:]

        @cache
        def f(i: int, pre: bool, is_limit: bool) -> int:
            if i == len(s):
                return 1
            
            up = int(s[i]) if is_limit else 1
            res = f(i + 1, False, is_limit and up == 0)

            if not pre and up == 1:
                res += f(i + 1, True, is_limit)

            return res

        return f(0, False, True)

 

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