排序算法
排序算法的介绍
- 排序也称排序算法 (Sort Algorithm)，排序是将一 组数据，依指定的顺序进行排列 的过程。
- 排序的分类：
- 内部排序:
指将需要处理的所有数据都加载 到内部存储器中进行排序。 - 外部排序法：
数据量过大，无法全部加载到内 存中，需要借助外部存储进行排序。 - 常见的排序算法分类(见右图):
- 内部排序:
算法的时间复杂度
- 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法
- 事后统计的方法 这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
- 事前估算的方法 通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.
时间频率
- 基本介绍
一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。[举例说明]
举例说明-基本案例
- 比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法!
//O(n)
int total = 0;
int end = 100;
for (int i = 1;i <= end;i ++){
total +=1;
}
T(n)=n+1;
//直接计算O(1)
total=(1+end)*end/2;
T(n)=1;
举例说明-忽略常数项
- 结论
- 2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
- 3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略
举例说明-忽略低此项
- 结论:
- 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
- n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20
举例说明-忽略系数
- 结论
- 随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
- 而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键
时间复杂度
- 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
- T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
- 计算时间复杂度的方法：
用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
常见的时间复杂度
- 常数阶O(1)【一句话就搞定】
- 对数阶O(log2n)【log以2(底数)为底n(真数)的倍数】
- 线性阶O(n)【随着n的变大值也变大,线性】
- 线性对数阶O(nlog2n)
- 平方阶O(n^2)【双层for循环】
- 立方阶O(n^3)【三层for循环】
- k次方阶O(n^k)【嵌套了k次for循环】
- 指数阶O(2^n)【尽量避免】
- 说明
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n)<O(n!) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法
1. 参数阶 O(1)
- 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;
- 上述代码在执行的时候，它消耗的时间并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
2. 对数阶 O(log2n)
int i = 1;
while (i < n) {
i = i * 2;
}
- 说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .
举例：
如果 n等于1024 那么上面那个循环一共执行多少次？
一共执行以 log以2为底的1024次，对应的倍数，就是10。2^10=1024。
3. 线性阶 O(N)
for (i = 1; i <= n; ++i) {
j = i;
j++;
}
- 说明：这段代码，for循环里面的代码会执行 n遍，因此它消耗的时间随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用 O(n)来表示它的时间复杂度。
4. 线性对数阶 O(nlogN)
for (m = 1; m < n; m++) {
i = 1;
while (i < n) {
i = i * 2;
}
}
- 说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)
5. 平方阶O(n²)
for (x = 1; i <= n; x++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
j = i;
j++;
}
}
- 说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)
6. 立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)
说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似
参考 https://www.cnblogs.com/huangbw/p/7398418.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/121838438
https://www.cnblogs.com/xiongze520/p/15666448.html#_label1
平均时间复杂度和最坏时间复杂度
- 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
- 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
- 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)
算法的空间复杂度简介
- 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
- 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法,基数排序就属于这种情况
- 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
算法的空间复杂度简介
- 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，他也是问题规模n的函数。
- 空间复杂度(space complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用内存空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，列如快速排序和归并排序算法就属于这种情况。
- 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的是程序执行的速度。一些缓存产品(redis，memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间。
冒泡排序
-
冒泡排序(buble sorting)的基本意思是：通过对待排序序列从前向后(下标较小的元素开始)，依此比较相邻元素的值，若发现逆序(在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序)则交换，使值较大的元素逐渐从前往后部，就像水底下的气泡一样逐渐向上冒。
-
因为排序的过程中，各元素不断接近自己的位置，如果一趟比较下来没有进行过交换，就说明序列有序，因此要在排序过程中设置一个标志 flag判断元素是否进行过交换。从而减少不必要的比较。
冒泡排序应用实例
- 我们举一个具体的案例来说明冒泡法。我们将5个无序的数：3，9，-1，10，20
使用冒泡排序将其排成一个从小到大的有序数列。
第一趟排序
| 次数 | 结果 | 描述 |
|---|---|---|
| 1 | 3，9，-1，10，20 | 3和9进行比较，3小于9所以不进行逆序交换位置(如果相邻的元素逆序就进行交换位置) |
| 2 | 3，-1，9，10，20 | 9和-1进行比较，9大于-1，逆序，交换位置 |
| 3 | 3，-1，9，10，20 | 9和10进行比较，9小于10,不进行交换位置 |
| 4 | 3，-1，9，10，20 | 10和20进行比较，10小于20，不进行交换位置。第一趟结束最终决定20为最大值 |
第二趟排序
| 次数 | 结果 | 描述 |
|---|---|---|
| 1 | -1，3，9，10，20 | 3和-1进行比较，3大于-1，逆序，交换位置 |
| 2 | -1，3，9，10，20 | 3和9进行比较，小于不进行交换 |
| 3 | -1，3，9，10，20 | 9和10进行比较，仍然不进行交换。第二个最大的10确认下来 |
第三趟排序
| 次数 | 结果 | 描述 |
|---|---|---|
| 1 | -1，3，9，10，20 | 1和3进行比较小于不进行交换位置 |
| 2 | -1，3，9，10，20 | 3和9进行比较小于不进行交换位置。9确定下来 |
第四趟排序
| 次数 | 结果 | 描述 |
|---|---|---|
| 1 | -1，3，9，10，20 | 1和3进行比较小于不进行交换位置，最终确定下来结果 |
小结冒泡排序规则
- 一共进行数组的大小-1次大的循环。
- 每一趟排序的次数在逐渐的减少。
- 如果我们发现在某趟排序中，没有发生一次交换，可以提前结束冒泡排序。这个就是优化。
代码
import org.junit.Test;
import java.util.Arrays;
/**
* @author zhaokuii11@163.com
* @create 2021-12-18 17:10
* @Description
*/
public class BubbleSort {
static int arr[] = {3, 9, -1, 10, -2};
@Test
public void bubbleTest() {
//为了容易理解，我们把冒泡排序的演变过程，演变出来
//第一趟排序，就是将最大的数排在最后
int temp = 0;//临时变量，用于最大最小交换
for (int i = 0; i < arr.length - 1 - 0; i++) {
//如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[i] > arr[i + 1]) {
temp = arr[i];
arr[i] = arr[i + 1];
arr[i + 1] = temp;
}
}
//第一趟排序后的数组 [3, -1, 9, -2, 10]
System.out.println(Arrays.toString(arr));
//第二趟排序，就是将第二大的数排在倒数第二位
// 【刚才排好的最大的数不在比叫所以在减一】
for (int i = 0; i < arr.length - 1 - 1; i++) {
//如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[i] > arr[i + 1]) {
temp = arr[i];
arr[i] = arr[i + 1];
arr[i + 1] = temp;
}
}
//第二趟排序后的数组 [-1, 3, -2, 9, 10]
System.out.println(Arrays.toString(arr));
//第三趟排序，就是将第三大的数排在倒数第三位
for (int i = 0; i < arr.length - 1 - 2; i++) {
//如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[i] > arr[i + 1]) {
temp = arr[i];
arr[i] = arr[i + 1];
arr[i + 1] = temp;
}
}
//第三趟排序后的数组 [-1, -2, 3, 9, 10]
System.out.println(Arrays.toString(arr));
//第四趟排序，就是将第四大的数排在倒数第四位
for (int i = 0; i < arr.length - 1 - 3; i++) {
//如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[i] > arr[i + 1]) {
temp = arr[i];
arr[i] = arr[i + 1];
arr[i + 1] = temp;
}
}
//第四趟排序后的数组 [-2, -1, 3, 9, 10]
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
@Test
public void bubbleAdvancedTest() {
//优化 冒泡排序的时间复杂度 O(n^2)
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
int temp = 0;//临时变量，用于最大最小交换
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
//如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
}
}
}
//[-2, -1, 3, 9, 10]
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
@Test
public void bubbleFinalTest() {
//优化 如果在某趟中发现没有一次交换，则提前结束冒泡排序
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
boolean flag = false;//标识变量，表示是否进行过交换
int temp = 0;//临时变量，用于最大最小交换
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
//如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
flag = true;
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
}
}
if (!flag) {
//在一趟排序中，一次交换都没有发生过，则退出
//注意：如果 flag在双层 for循环外边记得进行重置为 false！！！
break;
}
}
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
//将冒泡排序算法，封装成一个方法
public int[] bubbleSort(int[] arr) {
//优化 如果在某趟中发现没有一次交换，则提前结束冒泡排序
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
boolean flag = false;//标识变量，表示是否进行过交换
int temp = 0;//临时变量，用于最大最小交换
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
//如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
flag = true;
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
}
}
if (!flag) {
//在一趟排序中，一次交换都没有发生过，则退出
//注意：如果 flag在双层 for循环外边记得进行重置为 false！！！
break;
}
}
return arr;
}
}
