72. 编辑距离

题目描述

给了两个单词word1和word2，问如果将word1转化为word2需要最少操作数？
可以怎么操作？插入字符，删除字符，替换字符

f1-动态规划-自底向上

基本分析

1. 先明确可能的操作有几种?6种
2. 以上6种有没有等价的，可以减少思考维度？有等价的，最后剩3种，word1增加，word1删除，word1修改
3. 怎么定义状态？比较常见，定义为f[i][j]表示word1的前i个字符修改为word2的前j个字符的最少，因为考虑有0，0的情况，比字符长度多定义一位
4. 考虑怎么转移？（1）分析第i位个第j位的关系，相同则可用f[i-1][j-1]转移；（2）不相同则在3个操作（删、增加、改）中取最小
5. 对某个词是0的情况怎么进行边界处理？区分word1和word2是0的情况。（1）word1是0，锁定f[i]是0， 需要在列的维度上逐个字符去加；（2）word2是0，锁定f[j]是0，需要在行的维度上逐个去加

代码

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m, n = len(word1), len(word2)
        f = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
 
        # 预处理都是0的情况
        f[0][0] = 0
        # word2是0的情况,对应word1删除
        for i in range(1, m+1):
            f[i][0] = f[i-1][0] + 1
        # word1是0的情况，对应word1增加
        for j in range(1, n+1):
            f[0][j] = f[0][j-1] + 1
        
        # 其他情况，取3种可能最小
        for i in range(1, m+1):
            for j in range(1, n+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    f[i][j] = f[i-1][j-1]
                else:
                    f[i][j] = min(f[i-1][j-1], f[i][j-1], f[i-1][j]) + 1
        return f[-1][-1]
 

复杂度

时间：$O(m \cdot n)$
空间：$O(m \cdot n$

总结

涉及这种2个字符串匹配的，考虑最少是两个维度，看有没有可能前i去满足前j
这里操作比较多，需要考虑有没有可能等价，这里把6转化成了3
这里的操作针对的是前i个前j，删除、增加、修改并没有限定位置
在转移的时候，根据末尾做了分类，相同简单，不同是3个的最小+1
定义状态的时候考虑要不要多定义一位？前0位在dp里面是有意义的，所以多定义了一位，在写末尾判断的时候，需要注意索引是第几位-1
对首行和首列的边界条件，可以先预处理了，这样一般情况的dp转移不用考虑太多边界

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f2-状态压缩+自顶向下

基本分析

其他同上，这里考虑怎么用记忆化搜索实现

1. 和dp的区别？（1）两个的方向不一样，dp是00时候知道结果，搜索是终点知道结果（某一个达到长度）；（2）传递时候已知的方向不一样，一个前一个后
2. 怎么写搜索？（1）参数：处理到的索引，从0开始；（2）结束情况：某一个单词达到了长度，剩余就能口算了，特别的，这里可以考虑边界上的情况;（2）转移：某位等和不等两种情况；（3）返回：最少次数

代码

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m, n = len(word1), len(word2)
 
        @cache
        def helper(i, j):
            # 达到了word1的长度：
            if i == m:
                return n-j
            # 达到了word2的长度
            if j == n:
                return m-i
            if word1[i] == word2[j]:
                return helper(i+1, j+1)
            else:
                ins = helper(i+1, j) + 1
                dele = helper(i, j+1) + 1
                rep = helper(i+1, j+1) + 1
                return min(ins, dele, rep)
        
        return helper(0, 0)

复杂度

时间：$O(m \cdot n)$
空间：$O(m \cdot n)$

总结

需要注意两者方向上的差别，导致在已知状态+递归方向上的区别
另外判定索引和单词长度的写法，避免了额外边界的讨论