1799. N 次操作后的最大分数和

题目描述

给一个数组正整数nums，数组长度是2*n
规定需要对数组执行n次操作，每次操作从nums中拿出两个元素x和y，计算分数$i \cdot gcd(x,y)$
问n次操作后的分数和最大是多少？

f1-状态压缩+动态规划

基本分析

1. 有没有贪心的可能？没有啥思路
2. 如果考虑用dp实现，怎么定义状态？枚举当前的选择为mask（对mask有偶数1的限制），定义f[mask]为当前选择是mask的时候的最大分数和。
3. 基于以上dp的定义，考虑怎么转移？找到mask中1的位置，通过双层循环实现补充不漏的去掉其中2个1，mask的状态可以从以上状态中转移过来。具体地说，加入去掉的1的位置是j和k，那么f[mask] = f[i - (1<<j) - (1<<k)] + gcd[j, k] * 当前操作次数。而操作次数在i中可以体现出来（1的个数/2）
4. 有没有预处理的需求？因为可能需要多次枚举某两个位置的最大公约数，可以定义m*m的二维数组，把结果存起来
   5.dp的边界条件怎么考虑？当mask取0的时候，最大的分就是0，f[0] = 0

代码

class Solution:
    def gcd(self, x, y):
        if y == 0:
            return x
        else:
            return self.gcd(y, x%y)
 
    def maxScore(self, nums: List[int]) -> int:
        m = len(nums)
        # 预处理放最大公约数的值
        gcd = [[0] * m  for  _ in range(m)]
        for i in range(m-1):
            for j in range(i+1, m):
                gcd[i][j] = self.gcd(nums[i], nums[j])
        
        mask = 1<<m
        f = [0] * mask
        for i in range(mask):
            bits = bin(i).count('1')
            if bits % 2 == 1:
                continue
            for j in range(m-1):
                if i & (1<<j) == 0:
                    continue
                for k in range(j+1, m):
                    if i & (1<<k) == 0:
                        continue
                    f[i] = max(f[i], f[i - (1<<j) - (1<<k)] + int(gcd[j][k] * bits/2))
        
        return f[-1]
 

复杂度

时间：假设值的范围是n，数组长度是m，存公约数需要$O(m^2 \cdot log(n)), dp过程需要O(m^2 \cdot 2^m)$
空间：存公约数数组需要$O(m^2)$, 存dp结果需要$O(2^m)$

总结

直接枚举子集和利用dp处理有啥区别？直接枚举会有很多重复计算，dp做法会利用到之前的一些结果，从这个题中看，mask可能由最多m*m个之前的状态之一转移过来。
求公约数：这里用到辗转的方法，需要记下来；另外由于转移可能会频繁使用，这里用了预处理的方式
枚举mask中2个1的位置：为了保证不重复和不漏掉，对2个位置的顺序尽心了规定，从而通过双层循环可以实现
次数系数的获取：由于是枚举mask，mask中包含了次数的信息