1723. 完成所有工作的最短时间

题目描述

给了一个整数数组jobs表示工作，元素ei表示第i个工作需要花费的时间
给k个人，每个工作都需要分配，且每个只能给一个人
问如果要完成所有工作，求最短的工作时间？

f1-状态压缩+动态规划

基本分析

1. 能看出来需要二进制压缩状态，这里n是工作量，k是人数，怎么定义dp定义好？因为给第i个人的分配工作的时候只和之前i-1个人被分配的工作有关，因此定义dp状态为f[i][j],表示给前i个人分配工作状态为j时候的最小时间
2. 考虑怎么转移？加入给第i个人分配的工作是mask的一个子集sub，那么前i-1个人做的工作就是mask^sub,本次分配对应的时间就是max(f[i-1][mask^sub]，value[i])；因为这个不一定是最合理的，我们需要枚举mask的子集sub，来让总和最小
3. 考虑以上转移，是不是可以对value做预处理？可以遍历mask的子集sub，把sub对应的时间存起来
4. 怎么考虑dp的初始状态？考虑只由第一个人做的时候，mask对应的时间就是我们上一步求的sub对应的时间。
5. 转移的时候怎么考虑？
   • （1）先遍历人i，因为i=0给了初值，且要看i-1的状态，i从1开始就行
   • （2）再遍历状态sub，对应每个sub给一大的初始时间inf，再初始化他的子集last=sub
   • （3）枚举sub的子集last，看不同的prev和last的组合时间是多少，选出最小的就是f[i][sub]的结果
6. 以上复杂度很高，可以考虑怎么优化？
   • （1）python的min和max比较复杂，需要写成直接比较值的形式
   • （2）在函数之外，把mask的子集存起来，写成subsets[mask]的形式
   • （3）在枚举子集的时候借用二分等，后面再细看

代码

subsets = [[] for _ in range(1<<12)]
for i in range(1<<12):
    s = i
    while s > 0:
        subsets[i].append(s)
        s = (s-1) & i
 
class Solution:
    def minimumTimeRequired(self, jobs: List[int], k: int) -> int:
        n = len(jobs)
 
        mask = 1<<n
        ssum = [0] * mask
        for sub in range(mask):
            for j in range(n):
                if sub & (1<<j):
                    ssum[sub] = ssum[sub ^ (1<<j)] + jobs[j]
                    break
        f = [[0]*mask for _ in range(k)]
        f[0] = ssum.copy()
 
        for i in range(1, k):
            for j in range(1, mask):
                last = j
                mint = inf
                for last in subsets[j]:
                    prev = j - last
                    curt = ssum[last] if ssum[last] > f[i-1][prev] else f[i-1][prev]
                    mint = mint if mint <= curt else curt
                f[i][j] = mint
                
        return f[-1][-1]

复杂度

时间：$需要O(2^n)来预处理数组，dp有O(n \cdot 2^n种状态)， 将状态看做集合，大小为k的集合有n \ cdot C_{n}^{k}2^k=3^n个， 总时间复杂度是O(n \cdot 3^n)$
空间：$O(n \cdot 2^n)$

总结

  这个题在写状态的时候需要考虑怎么转移的问题，这里线索第i个人要分配的任务需要看前i-1个人的分配情况，这样就建立起来了联系，把人放在第1维度，把对应的任务状态放在第2维度，f[i][j]表示前i个人完成任务j对应的最小时间。
  这里需要考虑预处理，是因为在转移的时候，需要知道某个任务组合如果都给一个人做的时候，需要总共多少时间，这个可以提前累加起来。同时在累加的时候，由于子集是从小到大的，对于某个大的sub，肯定是可以找到一个低位的j，ssum[sub] = ssum[sub^(1<<j)] + jobs[j]是肯定成立的，之后就能break，去找下一个sub，这样节省时间。
  给dp赋初值的时候，考虑到我们枚举人是需要往前看的，所以i要从1取，那么i=0的情况要初始化好，恰好i等于0时候就代表只派0号人去做，这个结果在ssum中刚好已经统计了。
  常规转移的时候，先枚举人，再枚举状态，再枚举状态的子集。这个题python不好过，需要一些小技巧优化，前两个只是技巧，后面考虑二分优化需要再彻底了解下。