1349. 参加考试的最大学生数

题目描述

给一个m*n的矩阵seats表示教室内座位的分布，如果是坏的用“#”表示不能坐人
同时为了避免作弊，学生左，右，左前，右前4个位置不能有人
求给定座位后，最多能坐多少个学生？
提示：

• 1<=m<=8
• 1<=n<=8

f1-动态规划+状态压缩

基本分析

1. 每一行坐人的状态怎么表示？参考给的数据规模，用二进制来表示坐人的状态
2. 怎么满足以上的限制条件？
   • 坏的不能坐人?对某一行，预处理座位，把“#”用1代替，“.”用0代替，转化为二进制表达chair，如果chair&当前学生状态state==0,表示不冲突
   • 左右不能有人? state & (state >>1)==0 , state &(state<<1)==0
   • 左前右前不能有人？拿去前排的状态last_state, 和上面类似
3. 怎么根据题目给出的seats表达，预处理出需要的二进制状态表达chair？
   • 增加了第0排的状态，都是0
   • 后续每排，拿到这一排坏的位置的索引，利用运算把1放到对应的位置上，这里是用到了reduce（函数，列表）方式实现
4. 怎么定义dp状态？定义dp[i][state]表示第i排状态是state时候，前i排能坐的最大人数
5. 怎么初始化dp状态？增加了一个第0排，chair也增加了第0排，两个可以对上。真正遍历从i=1开始，到i=m结束
6. 怎么转移状态？dp[i][state] = max(dp[i][state], dp[i-1][last_state]+bin(state).count('1'))
7. 怎么拿到做后的结果？max(dp[m])

代码

class Solution:
    def maxStudents(self, seats: List[List[str]]) -> int:
        m, n = len(seats), len(seats[0])
	# 预处理坏座位
        chair = [0]
        for i in range(m):
            tmp = reduce(lambda x, y:x| 1<<y, [0] + [j for j in range(n) if seats[i][j]=="#"])
            chair.append(tmp)
			
        mask = 1<<n
        dp = [[0]*mask for _ in range(m+1)]
        
        for i in range(1, m+1):
            for state in range(mask):
                if state & chair[i] == 0 and state & (state>>1) ==0 and state & (state<<1) ==0:
                    for last_state in range(mask):
                        if state & (last_state>>1) ==0 and state & (last_state<<1)==0:
                            dp[i][state] = max(dp[i][state], dp[i-1][last_state] + bin(state).count('1'))
        
        return max(dp[m])
 

复杂度

时间：$遍历m排，每排需要2^n * 2^n, 最终为O(m*2^{2n})$
空间：$O(m*2^n)$

总结

1. 用二进制表示人占据座位的情况
2. 同样用在预处理的时候用二进制表示座位的占用情况
3. 对于以上限制条件，用二进制的运算实现
4. 在dp的时候，对初始化dp和chair的时候，都预先留了一个空排，以便可以从上往上顺序完成
5. 还可以自顶向下实现，见后续解题