473. 火柴拼正方形

题目描述

给一个数组nums，nums中元素代表火柴棒的长度。
给的要求是火柴棒可以连接，不能折断，每根必须用一次，问能不能连成正方形？

基本分析

f1-状态压缩+动态规划

1. 火柴数组长度不超过15暗示什么？可以用二进制数s表示数组中索引对应的火柴的使用情况
2. 火柴数组什么情况可以提前排除？（1）长度总和不是4的倍数；（2）有某根长度>边长
3. 火柴使用情况用什么表示？二进制的数字state
4. dp的状态怎么定义？利用f[state]表示正方形未被放满的边的当前长度
5. 状态的初始化和最终结果怎么定义？初始化f[0]=0表示不放火柴时，当前长度是0;最终结果是f[(1<<n)-1]，表示都用的时候，未被放满边的长度，如果要满足条件，需要f[-1]==0
6. 状态怎么进行转移？对当前的状态s，找到包含1的所有位置。以遍历到i为例，对应的火柴长度是v。考虑转移时，去掉i位置放置火柴的情况，对应状态为s1，当f[s1]+v<=边长时，表示可以转移f[s] = (f[s1]+v)%line, 此时可以不再继续遍历i，可以break，直接去讨论下一个状态；否则当f[s1]+v > 边长line时，不能进行转移，只能考虑其他别的放置情况。

f2-回溯

1. 排除简单不满足的情况？和上面一样
2. 怎么在遍历的是减少搜索量？对火柴从大到小排序
3. 怎么定义辅助的数组表示状态？定义了一个数组edges，其中每个元素edges[i]表示当前i边的长度
4. dfs的参数需要什么？定义idx表示处理到了哪个索引，如果idx=火柴长度，返回True，表示到栈尾
5. 回溯的中间逻辑是什么？对idx没有到达最终长度时,对饮的值是v。 遍历每个边0-4，先把值加到对应的边，新长度是edges[i]+v，看新长度是不是满足要求且后面也满足要求，如果是，可以返回True，需要在i边的放置，分析放到下一个边的情况
6. 怎么开始遍历？dfs（0），表示从索引0开始。

代码

f1-状态压缩+动态规划

class Solution:
    def makesquare(self, matchsticks: List[int]) -> bool:
        n = len(matchsticks)
        total = sum(matchsticks)
        if total % 4 != 0:
            return False
        line = total // 4
        if any(num > line for num in matchsticks):
            return False
 
        final = 1<<n
        f = [-1] * final
        f[0] = 0
 
        for s in range(1, final):
            for i, k in enumerate(matchsticks):
                if s & (1<<i) == 0:
                    continue
                s1 = s & (~(1<<i))
                if f[s1] >=0 and f[s1] + k <=line:
                    f[s] = (f[s1] + k) % line
                    break
 
        return f[-1]==0

f2-回溯

class Solution:
    def makesquare(self, matchsticks: List[int]) -> bool:
        n = len(matchsticks)
        total = sum(matchsticks)
        if total % 4 != 0:
            return False
        line = total / 4
        if any(num > line for num in matchsticks):
            return False
        
        matchsticks.sort(reverse=True)
 
        edges = [0] *4
        def dfs(idx):
            if idx == n:
                return True
            for i in range(4):
                edges[i] += matchsticks[idx]
                if edges[i] <= line and dfs(idx+1):
                    return True
                edges[i] -= matchsticks[idx]
            return False
        
        return dfs(0)

复杂度

f1-状态压缩+动态规划
时间：$O(n*2^n)$, n是火柴数组的长度，有$2^n$个状态，每个状态内在遍历火柴需要$O(n)$
空间：$O(2^n)$ ,保存dp数组需要$O(2^n)$的空间
f2-回溯
时间：$O(4^n)$
空间：$O(n)$,递归栈需要$O(n)的空间$

总结

f1-状态压缩+动态规划

1. 能看出来火柴数组长度不大于15，考虑用二进制来表示对应索引火柴的使用情况，进行状态压缩
2. 能利用简单规则排除明显不满足的情况
3. 定义dp状态时，定义的放置方式是依次放入，一条边满后再放另一条。对应的dp状态定义为f[s]s状态对应的，正方形未放满边的当前长度
4. 状态转移时先遍历每个状态，再遍历状态内1对应的i(在代码中是枚举i，不满足s % (1<<i)==1时跳过)；下面需要去找i处不放的状态s1，具体实现是s1,s & (~(1<<i))。这里s1一定能转移到s吗？不一定。（1）如果能转移，需要满足f[s1]>=0（代表s1合法），f[s1]+v <=line，表示s的放法不会超过边长，要吗不够继续放，要么刚好满。（2）不能转移有哪些情况？可能是遍历火柴后，不存在合法的s1；也可能是f[s1]+v > line, 不能进行转移
5. 对某个s，找到合适的s1转以后，为啥直接break？已经找到结果了，这个结果也不会再变，直接去找下一个state就行了。

f2-回溯

1. 简单排除不满足的情况
2. 对火柴排序，减少搜索空间
3. 定义edges辅助数组，表示每个边当前的长度，用来配合dfs
4. dfs时，需要的参数是idx。退出的出口是idx等于数组长；对每个idx遍历在每个边的放置情况；每个边内的逻辑是（1）放+（2）判断+（3）撤回
5. 调用时，从索引0开始考虑，就是dfs(0)