2435. 矩阵中和能被 K 整除的路径

题目描述

给了一个m x n的矩阵，矩阵左上点坐标是(0,0),右下角是(m-1,n-1)，再给了一个不大的整数k
你从起点出发，每一步只能向下或者向右走，问到达终点的且路径和能被k整除的路径数目？

基本分析

1. 这里只能往下往右，暗示了什么？可能是dp
2. 如果直接定义dp[i][j]表示从左上走到（i，j）时的路径数，这个时候很难往下转移，因为不知道到底这个点的路径%k的结果，建立不起来关系，这个时候需要怎么考虑？看到k不是很大，那么就是再扩充一个k维度，dp[i][j][v]表示从起点走到点[i][j],且路径和模k的结果为v时的路径数
3. 转移时候怎么考虑？枚举点-再枚举余。对点（i,j）处的值x，（i，j）处余v的情况应该是（i，j-1）处余v的个数+（i-1，j）处余v的个数。
4. 为什么需要考虑越界的问题？因为涉及到-1处的情况，在i或者j为0时会越界，为了解决这个问题，可以把f数组的行和列都增加一位
5. 如果对f的行列增加，伴随着初始化需要怎么处理？原本情况下是f[0][0][x%k]=1, 增加一位以后，因为转移是上或者左之和，可以设置f[0][1][0]=1或者f[1][0][0]=1

代码

动态规划-扩展维度

class Solution:
    def numberOfPaths(self, grid: List[List[int]], k: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        f = [[[0]*k for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]
        f[0][1][0] = 1
        for i, row in enumerate(grid):
            for j, x in enumerate(row):
                for v in range(k):
                    f[i+1][j+1][(v+x)%k] = (f[i+1][j][v] + f[i][j+1][v])%mod
        
        return f[m][n][0]
 

复杂度

时间：$O(mnk)$
空间：$O(mnk)$

总结

1. 通过只能左或者上每步转移看出dp的可能
2. 通过k值较小看出扩展k维度
3. 扩展维度后可以方便建立转移关系，具体是当前点（i,j）处余为(x+v)%k的个数是(i-1,j)处余v+（i，j-1）处余v的个数
4. 涉及到-1的情况，为了避免越界问题，把f多定义了一位，这样f初始化的时候也需要注意
5. 当m和n很小，k超大时的做法是折半枚举