JZOJ 1353. 有趣的数列

题目

Description

　　我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
　　(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；
　　(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n；
　　(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。
　　现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Input

　　从文件中读入数据，输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。

Output

　　输出文件中仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

 

Sample Input

3 10

Sample Output

5

 

Data Constraint

 

 

Hint

【样例说明】
　　对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。
【数据说明】
　　50%的数据满足n≤1000且P<=1,000,000
　　100%的数据满足n≤1,000,000且P≤1,000,000,000。

 

分析

 

• 通过暴力打标可得
• 是卡特兰数
• C(2n,n)/(n+1)
• 然后我们直接求
• 需要用到质因数分解
• 然后约分得到答案

 

代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
int prime[maxn],vis[2*maxn];
int cnt=1,id[2*maxn];
    int n,p;
int pri()
{
    for (int i=2;i<=2*n;i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[cnt]=i;
            id[i]=cnt++;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++)
        {
            vis[prime[j]*i]=1;id[prime[j]*i]=j;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int tot[maxn];
void add(int x,int k)
{
    while (x!=1)
    {
        tot[id[x]]+=k;
        x/=prime[id[x]];
    } 
}
int main()
{
    ll ans=1;
    cin>>n>>p;
    pri();
    for (int i=n+1;i<=2*n;i++) add(i,1);
    for (int i=1;i<=n;i++) add(i,-1);
    add(n+1,-1);
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
      while (tot[i]) ans=(ans*prime[i])%p,tot[i]--;
    cout<<ans;
    return 0;
}