JZOJ 1036. 【SCOI2009】迷路

题目

Description

windy在有向图中迷路了。
该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。
现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？
注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

 

Input

第一行包含两个整数，N T。
接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。
第i行第j列为'0'表示从节点i到节点j没有边。
为'1'到'9'表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

Output

输出一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

 

Sample Input

2 2
11
00

Sample Output

1

 

Data Constraint

 

 

Hint

100%的数据，满足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

 

分析

 

• 首先如果我们这个图只有0和1的话，这个矩阵的T次方就是答案
• 为什么
• 设f[k][i][j]为在k时刻走到i，j的方案数 显然 f[k][i][j]=∑1-n f[k-a[i][j]][i][j] a[i][j]不都是1吗 那么化简
•  f[k][i][j]=∑1-n f[k-1][i][j] 不就和原方程一样吗
• 然后对于这道题
• 我们拆点
• 拆成多个为一的点求矩阵快速幂 

 

代码

 

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=90,p=2009; 
int tmp[maxn][maxn],bb[maxn][maxn], ans[maxn][maxn];
int id,n,t;
void mul_mat(int a[][maxn],int b[][maxn])
{
    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
    for (int i=0;i<id;i++)
      for (int j=0;j<id;j++)
        for (int k=0;k<id;k++)
            tmp[i][j]=(tmp[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%p)%p;
    memcpy(a,tmp,sizeof(tmp));
}
void ksm()
{
    for (int i=0;i<id;i++)
       ans[i][i]=1;
    int tt=t;
    while (tt)
    {
        if (tt&1) mul_mat(ans,bb);
        mul_mat(bb,bb);
        tt>>=1;
    }
}
int main ()
{
    char c;
    cin>>n>>t;
    id=n*9;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        for (int j=0;j<8;j++)
            bb[i*9+j][i*9+j+1]=1;
        for (int j=0;j<n;j++)
        {
            cin>>c;
            c-='0';
            if (c) bb[i*9+c-1][j*9]=1;
        }
    }
    ksm();
    cout<<ans[0][(n-1)*9];
}