洛谷 P5091 【模板】欧拉定理

题目

题目描述

给你三个正整数，a,m,ba,m,b，你需要求：
a^b \bmod mabmodm

输入格式

一行三个整数，a,m,ba,m,b

输出格式

一个整数表示答案

输入输出样例

输入 #1复制

2 7 4

输出 #1复制

2

输入 #2复制

998244353 12345 98765472103312450233333333333

输出 #2复制

5333

说明/提示

注意输入格式，a,m,ba,m,b 依次代表的是底数、模数和次数

样例1解释：
2^4 \bmod 7 = 224mod7=2
输出2

数据范围：

对于全部数据：
1≤a≤10^91≤a≤109
1≤b≤10^{20000000}1≤b≤1020000000
1≤m≤10^61≤m≤106

 

分析

 

• 首先，我们需要知道欧拉定理，扩展欧拉定理
• 欧拉定理 aφ(m) ≡ 1 mod m
• 扩展欧拉定理 b≥φ(m)时,a^b ≡ a^(b mod φ(m) )+ φ(m) mod m
• 那我们来证明下欧拉定理
• 定义一个n=φ(m)
• 设x1,x2,x3...xn是小于m与m互质的数
• 然后我们再设k为与m互质的数 gcd(k,m)=1
• 那么再构成一个数列A{kx1,kx2,kx3...kxn}
• 我们尝试证明A中有两个数mod m是相等的

1. 假设 ak≡bk （mod m）
2. ak-bk=qm q为m的倍数 
   
3. (a-b)k=qm 所以左边mod m是等于0的
4. 但是k与m互质所以是不成立的 证毕

• 我们再证明A中所以数mod m 都是与 m 互质的

1. 首先 kx=k*x
2. k是与m互质的 x也是与m互质的
3. 所以gcd(k,m)=1,gcd(x,m)=1
4. 所以k*x都不包含m的因子
5. 也就是说k*x/m是个最简分数
6. gcd(kx,m)=1,gcd(kx%m,m)=1;欧几里得定理 证毕

• 还有就是如何求欧拉函数
• 欧拉筛是n
• 我们筛合数就是nsqrt（n）

 

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int read(int mod)
{
    int s=0,w=1,flag=0;
    char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') if (c=='-') w=-1; else c=getchar();
    while (c<='9'&&c>='0') 
    {
       s=(s*10+c-'0');
       if (s>=mod)
       {
            s%=mod;
            flag=1;
       }
       c=getchar();
    }
    if (flag) s+=mod;
    return s;
}
long long ksm(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long x=a,ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1!=0) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
} 
int main ()
{
    int a,b,m;
    cin>>a>>m;
    int tmp=m,phi=m;
    for (int i=2;i*i<=m;++i)
    {
        if (tmp%i==0)
        {
            phi=phi-phi/i;
            while (tmp%i==0)
            {
                tmp/=i;
            }
        }
    }
    if (tmp>1) phi=phi-phi/tmp;
    b=read(phi);
    cout<<ksm(a,b,m);
}