牛客练习赛 74

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CCA的树

关于树的组合计数

考虑容斥，容易知道总方案数为\(n^{n-2}*m^n\)

考虑在什么情况下不存在好链，容易知道当且仅当不同的颜色组成不同的连通块时，

该种方案下不存在好链

对于每一种固定的方案，我们枚举\(i\)条要断的边

这样会形成\(i+1\)个连通块，有\(C(n-1,i)\)种方案，然后考虑对这\(i+1\)个连通块染色

有\(C（m,i+1)*(i+1)！\)种方案，两个式子相乘即为该形态下方案数

容易知道n个节点每个形态下的方案数相同，期望可消去\(n^{n-2}\)从而得到答案

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mod 1023694381 
const int N = 1e7 + 101; 
using namespace std;
LL fac[N], inv[N];
int n, m, maxn;

LL ksm(LL a,LL b)
{
	LL res = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;b >>= 1;
	}
	return res;
}

LL C(LL a,LL b)
{
	return fac[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod; 
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);maxn = max(n,m);
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= maxn; i++) fac[i] = fac[i - 1] * (LL) i % mod;
	inv[maxn] = ksm(fac[maxn],mod - 2);
	for(int i = maxn - 1;i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (LL) (i + 1) % mod;
	LL ans = ksm(m,n);
	for(int i = 0;i <= n - 1; i++)
	{
		if(i + 1 > m) continue;
		ans = (ans - C(n - 1,i) * C(m,i + 1) % mod * fac[i + 1] % mod + mod) % mod;
	} 
	cout << ans << endl;
}