「积性函数」&「Dirichlet 卷积」学习笔记
积性函数
定义： 对于 \(a\perp b\) 且总有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 则我们称 \(f\) 为积性函数。
常见的积性函数：
1.单位函数： \(\epsilon(n)=[n=1]\)
2.恒等函数： \(id_{k}(n)=n^k\)
3.常数函数： \(I(n)=1\)
4.除数函数： \(\sigma_{k}(n)=\sum_{d|n}d^k\)
5.欧拉函数： \(\varphi(n)\)
6.莫比乌斯函数： \(\mu(n)\)
Dirichlet 卷积
定义： 对于两个数论函数 \(f\) 和 \(g\) ，我们又令函数 \(h\)，且函数 \(h\) 总满足：
\(h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)\),
简记为： \(h=f*g\)
单位元
定义： 对于任意数论函数 \(f\) 都有 \(f*\epsilon=f\)
逆元
定义： 若数论函数 \(g\) 满足 \(g*f=\epsilon\),则我们称 \(g\) 为 \(f\) 的逆元
\(g(n)\) 的表达式： \(g(n)=\frac{\epsilon(n)-\sum_{d|n,d\neq1}f(d)*g(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)}{f(1)}\)
重要推论
两个积性函数的 Dirichlet 卷积 也为积性函数
证明：
设两个积性函数 \(f\) 和 \(g\) ，再记 \(h=f*g\)
设 \(a \perp b\)
则 \(h(a)=\sum_{d|a}f(d)g(\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor),h(b)=\sum_{d|b}f(d)g(\left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor)\)
\(h(a)h(b)=\sum_{d|a}f(d)g(\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor)\sum_{d|b}f(d)g(\left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor)\)
\(=\sum_{d|ab}f(d)g(\left \lfloor \frac{ab}{d} \right \rfloor)\)
\(=h(ab)\)
