[ACM_其他] Modular Inverse [a关于模m的逆 模线性方程]

 

Description

The modular modular multiplicative inverse of an integer a modulo m is an integer x such that a-1≡x (mod m). This is equivalent toax≡1 (mod m).

Input

There are multiple test cases. The first line of input is an integer T ≈ 2000 indicating the number of test cases.

Each test case contains two integers 0 < a ≤ 1000 and 0 < m ≤ 1000.

Output

For each test case, output the smallest positive x. If such x doesn't exist, output "Not Exist".

Sample Input

3
3 11
4 12
5 13

Sample Output

4
Not Exist
8

 

题目大意：求a关于模m的逆。

解题思路：1>扩展欧几里得算法：找出一对整数对（x,y),使得ax+by=gcd(a,b).

　　　　　2>设a,b,c为任意整数.若方程ax+by=c的一组整数解为(x,y)，则它的任意解为（x+k*b',y+k*a'),其中a'=a/gcd(a,b),b'=b/gcd(a,b),k任意整数.

　　　　　3>模线性方程：输入正整数：a,b,n，解方程ax≡b(mod n)即：a-b是n的整数倍即：ax-b=ny.

         4>ax≡1 (mod m)等价于：ax%m==1%m 也等价于：ax-my=1是否有整数解且求出满足条件的最小整数x。扩展欧几里得算法1必须是gcd(a,m)的倍数，所以a和n互素即：gcd(a,m)=1才会有解，在该条件下有唯一解。

 

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y){
    if(!b){
        d=a;x=1;y=0;
    }else{
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}//扩展欧几里得算法，a,b,是输入量
//d为gcd(a,b),x,y为ax+by=gcd(a,b)的一组整数解
int main(){
    int T;cin>>T;
    while(T--){
        int a,m,d,x,y;
        cin>>a>>m;
        gcd(a,m,d,x,y);
        if(d!=1)cout<<"Not Exist\n";
        else{//根据一组解求满足条件的x
            if(x>0){
                while(x>0)x-=m;
                x+=m;
            }else if(x<0){
                while(x<0)x+=m;
            }else x+=m;
            cout<<x<<'\n';
        }
    }return 0;
}