算法提高课 第二章 迭代加深、双向DFS、IDA*

一、迭代加深

适用场景：某些分支的层数特别深，但答案在比较浅的层数里

170. 加成序列

剪枝一：优先枚举较大的数
减少搜索层数
剪枝二：排除等效冗余
前面任意两个数的和可能相等，对于每个结点，开一个bool数组记录是否枚举过

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int x[N];

bool dfs(int u,int depth)
{
    if(u > depth) return false; //当前层数大于最大深度也搜不到，返回false
    if(x[u-1] == n) return true; //搜到答案了
    
    bool st[N] = {0}; //排除等效冗余，记录两数之和是否被枚举过,局部变量，无需恢复现场
    for(int i = u - 1;i>=0;i--) //从大到小枚举，减少搜索层数
    {
        for(int j = i;j>=0;j--) //从大到小枚举
        {
            int s = x[i] + x[j];
            if(s <= x[u-1] || s > n || st[s]) //不大于上一层数 or 大于边界 or 已经搜索过 都是不合法的情况
            {
                continue;
            }
            //合法的数字
            st[s] = 1;//标记一搜索
            x[u] = s;//放置序列中
            if(dfs(u+1,depth)) return true; //注意：dfs有返回值，“一呼百应”
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    x[0] = 1; //序列第一项必是1
    while(cin>>n,n)
    {
        int depth = 1; //每次迭代加深搜索的最大深度
        while(!dfs(1,depth)) ++depth; //每次搜不到就增大搜索深度，直到搜到为止
        
        for(int i = 0;i<depth;i++)
        {
            cout<<x[i]<<' ';
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

二、双向BFS

171. 送礼物

1. 将所有物品按重量从大到小排序
2. 先将前K件物品能凑出的所有重量打表，然后排序并去重
3. 搜索剩下的N-K件物品的选择方式，然后在表中二分查找出不超过W的最大值

#pragma GCC optimize(3)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>


using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int>PII;
const int N = 47;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL mod = 1e9 + 7;

int n,k;
int cnt = 1;
LL m;
int w[N];
int sum[1<<25];//打表处理前一半物品可以组成的所有重量
LL ans;
void dfs1(int u,LL s) //打表处理前一半物品可以组成的所有重量
{
	if(u == k)
	{
		sum[cnt++] = s;
		return;
	}
	dfs1(u+1,s);
	if((LL)s+w[u]<=m) dfs1(u+1,(LL)s+w[u]);
	return;
}

void dfs2(int u,LL s) //对后一半物品的选择方式进行搜索
{
	if(u>=n)
	{
		int l = 0,r = cnt-1; //表中二分查找出不超过W的最大值(不可用map)
		LL x = (LL)m - s;
		while(l<r)
		{
			int mid = l+r+1>>1;
			if(x >= sum[mid]) l = mid;
			else r = mid - 1;
		}
		ans = max(ans,(LL)sum[l] + s);
		return;
	}
	dfs2(u+1,s);
	if((LL)s+w[u]<=m) dfs2(u+1,(LL)s + w[u]);
	return;
}
int main()
{
	scanf("%lld%d",&m,&n);
	k = n/2 + 2;
	LL s = 0;
	for(int i = 0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&w[i]);
		s += w[i];
	}
	if(s<= m) //所有重量不大于能力
	{
	    cout<<s<<endl;
	    exit(0);
	}
	sort(w,w+n);
	reverse(w,w+n);//从大到小枚举，减少搜索层数
	
	dfs1(0,0ll); 
	sort(sum,sum+cnt);//对所有重量表进行排序去重，方便后面二分查找
	cnt = unique(sum,sum+cnt) - sum;
	dfs2(k,0ll);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

三、IDA(迭代加深 + A估价剪枝)

基本思想：在迭代加深的同时额外添加一个剪枝，即对未来步数的启发式估计
相比A*算法更加简单实用

180. 排书

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 16;
int T,n;
int a[N];
int w[5][N];

int f() //估价函数
{
    int tot = 0;
    for(int i = 0;i<n-1;i++)
    {
        if(a[i+1]!=a[i] + 1) ++tot;
    }
    return (tot+2)/3;
}
bool dfs(int u,int depth)
{
    if(u + f() > depth) return false;//当前层+估计层大于最大层，返回失败
    if(f() == 0) return true;//若没有不正确的相邻(偏序)关系,说明全部排列正确，返回成功
    
    for(int len = 1;len<=n;len++) //枚举区间长度
    {
        for(int l = 0;l + len - 1 < n;l++) //枚举区间左端点
        {
            int r = l + len - 1;
            for(int k = r + 1;k < n;k++) //枚举将区间插入其后的位置
            {
                memcpy(w[u],a,sizeof a);//备份
                //先把原数组[r+1,k]的所有数挪到l位置，再把[l,r]挪到[r+1,k]数组之后，完成插入
                int j = l;
                for(int i = r + 1;i<=k;i++,j++)
                {
                    a[j] = w[u][i];
                }
                for(int i = l;i<=r;i++,j++)
                {
                    a[j] = w[u][i];
                }

                if(dfs(u+1,depth)) return true; //以当前状态，搜索下一层，成功返回1
                memcpy(a,w[u],sizeof a);//不成功，恢复现场
            }
        }
    }
    return false; //注意：必须写
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cin>>a[i];
        }
        
        //迭代加深部分
        int depth = 0;
        while(depth < 5 && !dfs(0,depth)) ++depth;
        
        if(depth >= 5) puts("5 or more");
        else cout<<depth<<endl;
    }
    return 0;
}