Acwing算法基础课 第一章 基础算法
第一章 基础算法：排序、高精度、二分、前缀和差分、双指针、位运算、离散化、区间合并
一、排序
快速排序
void quick_sort(int a[],int l,int r)
{
if(l>=r) return;
int i = l-1,j = r+1;//初始化为左右边界外侧的原因：实现交换后向前/后移动
int pivot = a[l+r>>1];
while(i<j)
{
do i++;while(a[i] < pivot);//先移动指针是为了实现交换后向前/后移动，防止卡死
do j--;while(a[j] > pivot);//没有等号，防止越界，当pivot与数组左/右端点值相等时
if(i<j) swap(a[i],a[j]);
}
quick_sort(a,l,j),quick_sort(a,j+1,r);//注意：必须按j,j+1划分，最后i>j，保证不大于pivot的在[l,j]区间
return;
}
进阶：快选算法：求第K个小的数(O(2n))
#include<iostream>
using namespace std;
const int M=100005;
int n,k,a[M];
int qsort(int l,int r,int k) //快速选择算法
{
if(l>=r) return a[l]; //如果只剩一个数，那么一定是答案
int i = l-1,j = r+1,x = a[l+r>>1]; //快排模板
while(i<j)
{
do i++;while(a[i]<x);
do j--;while(a[j]>x);
if(i<j) swap(a[i],a[j]);
}
int cnt_l = j - l + 1; //取左半边元素个数
if(k<=cnt_l) return qsort(l,j,k); //如果序号k不大于左半边元素个数，说明在左半边
else return qsort(j+1,r,k-cnt_l);//否则在右半边，注意：k值的相对变化
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&k);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
cout<<qsort(0,n-1,k)<<endl;
return 0;
}
归并排序
void merge_sort(int a[],int l,int r)
{
if(l>=r) return;
int mid=(l+r)/2;
merge_sort(a,l,mid),merge_sort(a,mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,k=0;
while(i<=mid&&j<=r)
{
if(a[i]<=a[j]) tmp[k++]=a[i++];
else tmp[k++]=a[j++];
}
while(i<=mid) tmp[k++]=a[i++];
while(j<=r) tmp[k++]=a[j++];
for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++) a[i]=tmp[j];
}
二、二分查找
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q个查询。对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。如果数组中不存在该元素，则返回
-1 -1。
#include<iostream>
using namespace std;
const int M=100005;
int main()
{
int a[M];
int n,q;
cin>>n>>q;
for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
while(q--)
{
int x;
cin>>x;
int l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(a[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(a[l]!=x) cout<<"-1 -1"<<endl;
else
{
cout<<l<<' ';
l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r+1)/2;
if(a[mid]<=x) l=mid;
else r=mid-1;
}
cout<<l<<endl;
}
}
return 0;
}
三、高精度运算
高精度加法
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int M=100000;
vector<int> add(vector<int>&a,vector<int>&b)
{
vector<int> C;
int c=0;
for(int i=0;i<a.size()||i<b.size();i++)
{
if(i<a.size())
{
c=c+a[i];
}
if(i<b.size())
{
c=c+b[i];
}
C.push_back(c%10);
c=c/10;
}
if(c>0) C.push_back(1);
return C;
}
int main()
{
string A,B;
vector<int> a,b;
cin>>A>>B;
for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
{
a.push_back(A[i]-'0');
}
for(int i=B.size()-1;i>=0;i--)
{
b.push_back(B[i]-'0');
}
auto c=add(a,b);
for(int i=c.size()-1;i>=0;i--) cout<<c[i];
return 0;
}
高精度减法
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int M=1e5+10;
void killzero(vector<int>&A)//去掉前导0，如009->9
{
while(A.size()>1&&A.back()==0) A.pop_back();
}
bool cmp(vector<int>&A,vector<int>&B)//判断是否A>=B
{
if(A.size()!=B.size()) return A.size()>=B.size();
for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
{
if(A[i]!=B[i]) return A[i]>B[i];
}
return true;//注意两数相等时返回TRUE
}
vector<int> sub(vector<int>&A,vector<int>&B)
{
vector<int>C;
for(int i=0,t=0;i<A.size();i++)
{
t=A[i]-t;
if(i<B.size()) t=t-B[i];
if(t>=0) C.push_back(t);
else C.push_back(10+t);
if(t<0) t=1;//t不是0就是1，小于0说明已发生借位
else t=0;
}
killzero(C);
return C;
}
int main()
{
string a,b;
vector<int>A,B,C;
cin>>a>>b;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)
{
A.push_back(a[i]-'0');
}
for(int i=b.size()-1;i>=0;i--)
{
B.push_back(b[i]-'0');
}
killzero(A),killzero(B);//去掉前导0
if(cmp(A,B)) C=sub(A,B);
else
{
cout<<"-";
C=sub(B,A);
}
for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)
cout<<C[i];
return 0;
}
高精度乘法
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
void kill_zero(vector<int>&A)
{
while(A.size()>1&&A.back()==0) A.pop_back();
}
vector<int> mul(vector<int>&A,int b)
{
vector<int>C;
int t=0;//进位
for(int i=0;i<A.size()||t;i++)
{
t=t+A[i]*b;
C.push_back(t%10);
t=t/10;
}
return C;
}
int main()
{
string a;
int b;
cin>>a>>b;
vector<int>A;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)
A.push_back(a[i]-'0');
kill_zero(A);
auto C = mul(A,b);
kill_zero(C);
for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)
cout<<C[i];
}
高精度除法
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
void killzero(vector<int> &A)//去前导0
{
while(A.size()>1&&A.back()==0) A.pop_back();
}
vector<int>divide(vector<int>A,int b,int &t)
{
vector<int>C;
t=0;//余数
for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
{
t=t*10+A[i];
C.push_back(t/b);
t=t%b;
}
reverse(C.begin(),C.end());//与高精度存储方式同步：从低到高
killzero(C);
return C;
}
int main()
{
string a;
vector<int>A;
int b,t;
cin>>a>>b;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)
A.push_back(a[i]-'0');
killzero(A);
auto C = divide(A,b,t);
for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)
cout<<C[i];
cout<<endl<<t;
}
四、前缀和与差分
一维前缀和
#include<iostream>
using namespace std;
const int M=100005;
int n,m,l,r,a[M],s[M];
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
s[i]=s[i-1]+a[i];//前缀和初始化
}
while(m--)
{
scanf("%d %d",&l,&r);
cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;//区间和的计算
}
return 0;
}
二维前缀和
#include<iostream>
using namespace std;
const int M=1005;
int n,m,q,a[M][M],s[M][M];
int main()
{
scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];//计算前缀和
}
}
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);//计算部分和
}
return 0;
}
一维差分
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=100005;
int n,m,l,r,c,a[M],b[M];//全局变量默认初始化全0
void insert(int l,int r,int c)//插入函数
{
b[l]=b[l]+c;
b[r+1]=b[r+1]-c;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
insert(i,i,a[i]);//输入原数组相当于对a进行插入，对差分b也要进行操作
}
while(m--)
{
cin>>l>>r>>c;
insert(l,r,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
b[i]=b[i-1]+b[i];//a相当于b的前缀和数组，通过差分b数组求和计算a数组
}
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);
return 0;
}
二维差分
#include<iostream>
using namespace std;
const int M=1005;
int n,m,q,a[M][M],b[M][M];//全局变量默认初始化全0
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)//插入函数，原理图见笔记
{
b[x1][y1]+=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
cin>>a[i][j];
insert(i,j,i,j,a[i][j]);//输入原数组相当于对a进行插入，对差分b也要进行操作
}
}
while(q--)
{
int x1,x2,y1,y2,c;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++)//a相当于b的前缀和数组，通过差分b数组求前缀和还原操作后的a数组
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
b[i][j]=b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];//计算前缀和公式，注意与模板的区别
cout<<b[i][j]<<" ";
}
puts(" ");//换行->cout<<endl;
}
return 0;
}
五、位运算
把n的第k位移到最后一位：n>>k
看n的第k位是0/1?:n>>k & 1
lowbit(x):返回x的最右边的一位1，eg.lowbit(10) = 2 10:1010
lowbit(x) = x & -x
求二进制中1的个数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
int main()
{
int n,x,res=0;
cin>>n;
while(n--)
{
res=0;
cin>>x;
while(x) x-=lowbit(x),res++;
cout<<res<<" ";
}
}
六、离散化
假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r] 之间的所有数的和。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;//2个数据合成一组
const int M=3*1e5+10;//因为数据n,m很大
int a[M],s[M],n,m,x,c,l,r;
vector<int>alls;//存放所有大数据
vector<PII>add,query;//操作与询问数组
int find(int x)//在alls中进行二分查找映射的数
{
int l=0,r=alls.size()-1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(x<=alls[mid]) r=mid;
else l=mid+1;
}
return r+1;//保证映射在区间[1,n],方便处理前缀和的边界问题
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>x>>c;
add.push_back({x,c});
alls.push_back(x);
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
cin>>l>>r;
query.push_back({l,r});
alls.push_back(l);
alls.push_back(r);
}
sort(alls.begin(),alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());//排序并去重
for(auto item:add)//处理操作
{
int x=find(item.first);
a[x]=a[x]+item.second;
}
for(int i=1;i<=alls.size();i++)//前缀和处理
{
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
for(auto item:query)//计算并处理询问
{
l=find(item.first),r=find(item.second);
cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
七、区间合并
给定 n 个区间 [li,ri]，要求合并所有有交集的区间。注意如果在端点处相交，也算有交集。输出合并完成后的区间个数。
例如：[1,3] 和 [2,6] 可以合并为一个区间 [1,6]。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+10;
int n;
typedef pair<int,int> PII;
vector<PII>area;
void merge(vector<PII>&area)
{
vector<PII>res;
sort(area.begin(),area.end());
int st=area[0].first,ed=area[0].second;
for(int i=1;i<area.size();i++)
{
if(ed<area[i].first)
{
res.push_back({st,ed});
st=area[i].first,ed=area[i].second;
}
else ed=max(ed,area[i].second);
}
res.push_back({st,ed});
area=res;
}
int main()
{
cin>>n;
while(n--)
{
int l,r;
cin>>l>>r;
area.push_back({l,r});
}
merge(area);
cout<<area.size();
return 0;
}
八、双指针
通用模板
for(i = 0,j = 0;i < n;i++)
{
while(j < i && check(i,j)) j++;
//每道题目的具体逻辑
}
[3581. 单词识别] (https://www.acwing.com/problem/content/description/3584/ "3581. 单词识别")
双指针+哈希
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+10;
int a[M],b[M],n,i,j,res;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
for(i=0,j=0;i<n;i++)
{
b[a[i]]++;
while(b[a[i]]>1)//当遇到重复数时，重复几次（1-2），j向后移动几个
{
b[a[j]]--;
j++;
}
res=max(res,i-j+1);//指针移动后统计最大长度
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
800. 数组元素的目标和
//: # (打卡模板，上面预览按钮可以展示预览效果 ^^)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+10;
int a[M],b[M],n,m,x;
int main()
{
cin>>n>>m>>x;
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=0;i<m;i++)
scanf("%d",&b[i]);
for(int i=0,j=m-1;i<n;i++)//根据单调性与答案存在且唯一性，大于x时j左移，小于x时i右移
{
while(j&&a[i]+b[j]>x) j--;
if(a[i]+b[j]==x)
{
cout<<i<<" "<<j<<endl;
break;
}
}
return 0;
}
2816. 判断子序列
//: # (打卡模板，上面预览按钮可以展示预览效果 ^^)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n,m;
int a[N],b[N];
int main()
{
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i = 0;i < n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
for(i = 0;i < m;i++)
{
scanf("%d",&b[i]);
}
i = j = 0;
while(j < m)
{
if(a[i] == b[j]) i++;
if(i == n)
{
break;
}
j++;
}
if(i != n) puts("No");
else puts("Yes");
return 0;
}
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