王道 数据结构 第七章 查找 B树开始

一、B树

引入

如何保证查找效率？
若每个结点内关键字太少，导致树变高，要查找更多层结点，效率低
策略1：m叉查找树中，规定除了根结点外，任何结点至少有[m/2]个分叉，即至少含有[m/2]-1个关键字
[m/2]:向上取整
eg：对于5叉排序树，规定除了根结点外，任何结点至少有3个分叉，2个关键字

策略2：m叉查找树中，规定对于任何一个结点，其所有子树的高度都要相同
满足以上两个策略的树就称为B树

定义

B树，又称多路查找树，B树中的所有结点的孩子个数的最大值称为B树的阶，通常用m表示。一棵m阶B树或为空树，或为满足如下性质的m叉树：

• 1.树中每个结点至多有m棵子树，即最多有m-1个关键字
  2.若根结点不是终端结点，则至少有两棵子树
  3.除根节点外，所有的非叶结点至少有[m/2]棵子树，即至少有[m/2]-1个关键字
  4.所有的叶结点都出现在同一层次上，且不带信息（可以视为外部结点或类似与折半查找判定树的查找失败结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）
  5.所有非叶结点的结构如下：
  
  其中，Ki(i = 1,2,…,n)为结点的关键字，且满足K1<K2<…<Kn;Pi为指向子树根结点的指针，且指针Pi-1所指子树中所有结点的关键字均小于Ki，Pi所指所指子树中所有结点的关键字均大于Ki，n([m/2]-1≤n≤m-1)为结点中关键字的个数。
  

B树的高度

问题：含n个关键字的m阶B树，最小高度、最大高度是多少？

最小高度——让每个结点尽可能的满，有m-1个关键字，m个分叉，则有：
n ≤ (m-1)*(1+m+m ^ 2+……m ^ h-1)

最大高度——让各层分叉尽可能的少，即根结点只有2个分叉，其他结点只有[m/2]个分叉
各层结点至少有：第一层 1、第二层 2、第三层 2[m/2]……第h层 2([m/2])^(h-2)
第h+1层共有叶子结点（失败节点）2([m/2])^(h-1)
n个关键字的B树必有n+1个叶子结点，则n+1 ≥ 2([m/2])^(h-1),即h≤log[m/2] ((n+1)/2+1)

三、散列表

散列查找

装填因子 = 表中记录数/散列表长度
装填因子会直接影响散列表的查找效率

散列函数——让不同关键字的冲突尽可能少

除留余数法——H(key) = key % p

散列表长度为m，取一个不大于m但最接近或等于m的质数p

直接定址法——H(key) = key 或 H(key) = a*key+b

它适合关键字分布基本连续的情况，若关键字分布不连续，空位较多，则会造成存储空间浪费

数字分析法——选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址

设关键字是r进制数（如十进制数），而r个数码在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位上分布均匀一些，每种数码出现的机会均等，此时可选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址。这种方法适合于关键字已知的集合，若更换了关键字，则需要重新构造新的散列函数

平方取中法——去关键字的平方值的中间几位作为散列地址

具体取多少位要视情况而定，适用于关键字的每位取值都不够均匀或均小于散列地址所需的位数

处理冲突的方法——开放寻址法

线形探测法——即发生冲突时，每次往后探测相邻的下一个单元是否为空

可能与同义词、非同义词发生冲突
空地址的判断算作一次比较

关于关键字的删除操作

线形探测法越早遇到空位置，越早认定查找失败，提升效率
注意：采用“开放寻址法”时，删除结点不能简单地将被删结点的空间置为空，否则将截断在它之后填入散列表的同义词结点的查找路径，可以做一个“删除标记”，进行逻辑删除

平方探测法——di = 0^2,12,-1^2,22,-2^2,……,k,k2,又称二次探测法，其中k≤m/2

比起线性探测法，更不容易产生“堆积”问题
散列表长度m必须是一个可以表示成4j+3的素数，才能探测到所有位置

伪随机序列法——di是一个伪随机序列

再散列法——多准备几个散列函数

除了原始的散列函数H(key)之外，多准备几个散列函数，当发生冲突时，用下一个散列函数计算一个新地址，直到不冲突为止

处理冲突的方法——拉链法

优化：根据关键字大小对链进行排序，之后查找可使用二分方法