[NOIp2012] 国王游戏（排序 + 贪心 + 高精度）

题意

给你两个长为 $n+1$ 的数组 $a,b$ ，你需要定义一个顺序 $p$ （$p_0$ 永远为 $0$）

能够最小化

$$\max_{i=1}^{n} \frac{\prod_{j = 0}^{i} a_{p_j}}{b_{p_i}}$$

$1 \le n \le 1000, 1 \le a, b \le 10^4$

题解

开始把原来没做完的 $NOIp$ 题都水掉qwq

类似这种题都需要有个巧妙的排序方法，使得答案最小，其实可以大力找规律或者猜结论发现按 $a_i \times b_i$ 排序是最优秀的。

我们尝试推导这个结论。

其实我们发现只需要考虑相邻两个数如何交换才是最优的，因为任意排列都可以由交换相邻两个数得到。

假设当前两个位置为 $i, i+1$ ，记 $\displaystyle p = \prod_{j = 0}^{i - 1}a_j$ 。

我们令 $ans_0$ 为交换前的最大值，$ans_1$ 为交换后的，那么有

$$\begin{cases} ans_0 &= \max\{\frac{p}{b_i}, \frac{p \times a_i}{b_{i+1}}\} \\ ans_1 &= \max\{\frac{p}{b_{i+1}}, \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}}\} \end{cases}$$

因为有

$$\forall i, a_i, b_i \ge 1$$

不难发现有

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \ge \frac{p}{b_{i+1}} \\ \displaystyle \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} \ge \frac{p}{b_i} \end{cases}$$

所以当 $ans_1 \ge ans_0$ 也就是交换后不会更优，当且仅当

$$\begin{aligned} \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} &\ge \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \\ a_{i + 1} \times b_{i + 1} &\ge a_i \times b_i \end{aligned}$$

所以我们不难发现当 $a_i \times b_i$ 升序的时候是最优的。

然后答案需要用高精度存储，但是我不想写。。。（用 $python$ 水过了2333）

考试时候应该还是会头铁写高精度的。。

总结

对于重排序列使得一些要求的东西最优的时候，可以考虑不等式推导。

然后也不需要考虑相隔很远的两个数，可以考虑相邻两个数，结论也是一样的，因为交换相邻两个数也可以使得序列排序。

代码

教你 $17$ 行 $python3$ 代码水过2333

n = (int)(input())
a, b = map(int, input().split())
array = [[0] * 2] * n
for i in range(0, n):
	array[i] = list(map(int, input().split()))

def Cmp(elem):
	return elem[0] * elem[1]
array.sort(key = Cmp)

ans = 0
tot = a
for i in range(0, n):
	ans = max(ans, tot // array[i][1])
	tot = tot * array[i][0]

print(ans)

__EOF__

本文作者：zjp_shadow
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