[NOIp2012] 国王游戏（排序 + 贪心 + 高精度）

题意

给你两个长为 \(n+1\) 的数组 \(a,b\) ，你需要定义一个顺序 \(p\) （\(p_0\) 永远为 \(0\)）

能够最小化

\[\max_{i=1}^{n} \frac{\prod_{j = 0}^{i} a_{p_j}}{b_{p_i}} \]

\(1 \le n \le 1000, 1 \le a, b \le 10^4\)

题解

开始把原来没做完的 \(NOIp\) 题都水掉qwq

类似这种题都需要有个巧妙的排序方法，使得答案最小，其实可以大力找规律或者猜结论发现按 \(a_i \times b_i\) 排序是最优秀的。

我们尝试推导这个结论。

其实我们发现只需要考虑相邻两个数如何交换才是最优的，因为任意排列都可以由交换相邻两个数得到。

假设当前两个位置为 \(i, i+1\) ，记 \(\displaystyle p = \prod_{j = 0}^{i - 1}a_j\) 。

我们令 \(ans_0\) 为交换前的最大值，\(ans_1\) 为交换后的，那么有

\[\begin{cases} ans_0 &= \max\{\frac{p}{b_i}, \frac{p \times a_i}{b_{i+1}}\} \\ ans_1 &= \max\{\frac{p}{b_{i+1}}, \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}}\} \end{cases} \]

因为有

\[\forall i, a_i, b_i \ge 1 \]

不难发现有

\[\begin{cases} \displaystyle \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \ge \frac{p}{b_{i+1}} \\ \displaystyle \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} \ge \frac{p}{b_i} \end{cases} \]

所以当 \(ans_1 \ge ans_0\) 也就是交换后不会更优，当且仅当

\[\begin{aligned} \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} &\ge \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \\ a_{i + 1} \times b_{i + 1} &\ge a_i \times b_i \end{aligned} \]

所以我们不难发现当 \(a_i \times b_i\) 升序的时候是最优的。

然后答案需要用高精度存储，但是我不想写。。。（用 \(python\) 水过了2333）

考试时候应该还是会头铁写高精度的。。

总结

对于重排序列使得一些要求的东西最优的时候，可以考虑不等式推导。

然后也不需要考虑相隔很远的两个数，可以考虑相邻两个数，结论也是一样的，因为交换相邻两个数也可以使得序列排序。

代码

教你 \(17\) 行 \(python3\) 代码水过2333

n = (int)(input())
a, b = map(int, input().split())
array = [[0] * 2] * n
for i in range(0, n):
	array[i] = list(map(int, input().split()))

def Cmp(elem):
	return elem[0] * elem[1]
array.sort(key = Cmp)

ans = 0
tot = a
for i in range(0, n):
	ans = max(ans, tot // array[i][1])
	tot = tot * array[i][0]

print(ans)