Educational Codeforces Round 33 (Rated for Div. 2) F. Subtree Minimum Query（主席树合并）

题意

给定一棵 \(n\) 个点的带点权树，以 \(1\) 为根， \(m\) 次询问,每次询问给出两个值 \(p, k\) ，求以下值：

\(p\) 的子树中距离 \(p \le k\) 的所有点权最小值，询问强制在线。

\(n \le 10^5 , m \le 10^6, TL = 6s\)

题解

如果不强制在线，直接线段树合并就做完了。

强制在线，不难想到用一些可持久化的结构来维护这些东西。

其实可以类似线段树合并那样考虑，也就是说每次合并的时候我们依然使用儿子的信息。

只要在合并 \(x, y\) 共有部分的时候建出新节点，然后权值是 \(x, y\) 权值的较小值，其他的部分直接连向那些单独有的子树信息即可。

其实实现是这样的：

	int Merge(int x, int y) {
		if (!x || !y) return x | y;
		int o = Newnode();
		ls[o] = Merge(ls[x], ls[y]);
		rs[o] = Merge(rs[x], rs[y]);
		minv[o] = min(minv[x], minv[y]);
		return o;
	}

这样的话，既可以保留子树信息，又可以得到这个节点新的信息。

最后空间复杂度就是 \(O(n \log n)\) ，时间复杂度是 \(O((n + m) \log n)\) 的。

总结

强制在线问题，用可持久化数据结构去解决就行了，也就是把平常的数据结构记历史版本，并尽量用之前的信息。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define pb push_back

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("F.in", "r", stdin);
	freopen ("F.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e5 + 1e3, inf = 0x3f3f3f3f;

#define lson ls[o], l, mid
#define rson rs[o], mid + 1, r

template<int Maxn>
struct Chair_Man_Tree {

	int ls[Maxn], rs[Maxn], minv[Maxn], Size;

	Chair_Man_Tree() { minv[0] = inf; }

	inline int Newnode() {
		int o = ++ Size; minv[o] = inf; return o;
	}

	void Update(int &o, int l, int r, int up, int uv) {
		if (!o) o = Newnode();
		if (l == r) { chkmin(minv[o], uv); return ; }
		int mid = (l + r) >> 1;
		up <= mid ? Update(lson, up, uv) : Update(rson, up, uv);
		minv[o] = min(minv[ls[o]], minv[rs[o]]);
	}

	int Query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
		if (!o) return inf;
		if (ql <= l && r <= qr) return minv[o];
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (qr <= mid) return Query(lson, ql, qr);
		if (ql > mid) return Query(rson, ql, qr);
		return min(Query(lson, ql, qr), Query(rson, ql, qr));
	}

	int Merge(int x, int y) {
		if (!x || !y) return x | y;
		int o = Newnode();
		ls[o] = Merge(ls[x], ls[y]);
		rs[o] = Merge(rs[x], rs[y]);
		minv[o] = min(minv[x], minv[y]);
		return o;
	}

};

vector<int> G[N]; int val[N], rt[N], dep[N];

int n, S;

Chair_Man_Tree<N * 80> T;

void Dfs(int u, int fa = 0) {
	dep[u] = dep[fa] + 1;
	for (int v : G[u]) if (v != fa)
		Dfs(v, u), rt[u] = T.Merge(rt[u], rt[v]);
	T.Update(rt[u], 1, n, dep[u], val[u]);
}

int main () {

	File();

	n = read(); S = read(); 

	For (i, 1, n)
		val[i] = read();
	
	For (i, 1, n - 1) {
		int u = read(), v = read();
		G[u].pb(v); G[v].pb(u);
	}

	Dfs(S);

	int q = read(), ans = 0;
	For (i, 1, q) {
		int x = (read() + ans) % n + 1, k = (read() + ans) % n;
		printf ("%d\n", ans = T.Query(rt[x], 1, n, dep[x], min(dep[x] + k, n)));
	}

	return 0;

}