Codeforces Round #511 (Div. 1) C. Region Separation（dp + 数论）

题意

一棵 $n$ 个点的树，每个点有权值 $a_i$ 。你想砍树。

你可以砍任意次，每次你选择一些边断开，需要满足砍完后每个连通块的权值和是相等的。求有多少种砍树方案。

$n \le 10^6, a_i \le 10^9$

题解

先假设只砍一次。令所有点权和为 $S$ ，那么假设要砍成 $k$ 个连通块，则每个连通块的权值和均为 $\displaystyle \frac{S}{k}$ 。

考虑如何得到砍的方案，以 $1$ 号点为根 $dfs$ ，若当前点 $i$ 的子树之和 $\frac{S}{k} | \displaystyle sum_i$ ，则当前子树可以砍下来。若最后恰好砍了 $k$ 次，那么就得到了一个合法的砍树方案。

其实这就等价于 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} [\frac{S}{k} | sum_i] = k$ 。

不难看出这个对应且仅对应一种方案。如果不足 $k$ ，那么就没有那么多个点可以分；多于 $k$ 的情况是不可能的，因为总和不够分配。

这个式子还不够优秀，我们转化一下：

\begin{aligned} (1) & [\frac{S}{k} | s u m_{i}] & = [S | k \times s u m_{i}] \\ (2) & = [\frac{S}{gcd (S, s u m_{i})} | k \times \frac{s u m_{i}}{gcd (S, s u m_{i})}] \\ (3) & ∵ \frac{S}{gcd (S, s u m_{i})} ⊥ \frac{s u m_{i}}{gcd (S, s u m_{i})} \\ (4) & = [\frac{S}{gcd (S, s u m_{i})} | k] \end{aligned}

$\begin{align} [\frac{S}{k}|sum_i] &= [S | k \times sum_i] \\ &= [\frac{S}{\gcd(S,sum_i)}|k \times \frac{sum_i}{\gcd(S,sum_i)}] \\ &\because \frac{S}{\gcd(S,sum_i)} \bot \frac{sum_i}{\gcd(S,sum_i)} \\ &= [\frac{S}{\gcd(S,sum_i)} | k] \end{align}$

然后就变成

\sum_{i = 1}^{n} [\frac{S}{gcd (S, s u m_{i})} | k] = k

$\sum_{i = 1}^{n} [\frac{S}{\gcd(S,sum_i)} | k] = k$

显然这个我们可以枚举倍数在 $O(n \ln n)$ 的时间内解决（注意 $k \le n$ ）

那么如果砍多次呢?可以看出如果第一次砍成了 $x$ 块，那么第二次砍成的块数 $y$ 必须满足 $x|y$ 。

因为你之后的权值只能比之前分的更多，且每个联通块的权值是之前的一个因子。

这部分也可以 $O(n \ln n)$ 算。

总结

熟悉这种分成很多块有关于 $O(\ln n)$ 复杂度的东西就行啦qwq

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

typedef long long ll;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
	int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
	return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("C.in", "r", stdin);
	freopen ("C.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e6 + 1e3;

bitset<N> pass;

ll sum[N], dp[N]; int n, fa[N];

int main () {

	File();

	n = read();
	For (i, 1, n) sum[i] = read();
	For (i, 2, n) fa[i] = read();
	Fordown (i, n, 1) sum[fa[i]] += sum[i];

	For (i, 1, n) {
		ll tmp = sum[1] / __gcd(sum[1], sum[i]);
		if (tmp <= n) ++ dp[tmp];
	}

	Fordown (i, n, 1) if (dp[i])
		for (int j = i * 2; j <= n; j += i) dp[j] += dp[i];

	For (i, 1, n)
		pass[i] = (dp[i] == i && !(sum[1] % i)), dp[i] = 0;
	dp[1] = pass[1];

	ll ans = 0;
	For (i, 1, n) if (pass[i]) {
		for (int j = i * 2; j <= n; j += i) 
			if (pass[j]) dp[j] += dp[i];
		ans += dp[i];
	}
	printf ("%lld\n", ans);

	return 0;

}

__EOF__

本文作者：zjp_shadow
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