LOJ #2234. 「JLOI2014」聪明的燕姿（搜索 + 数论）

题意

给出一个数 $S$ ，输出所有约数和等于 $S$ 的数。

$S \le 2 \times 10^9$ ，数据组数 $\le 100$ 。

题解

首先用约数和定理：

\begin{aligned} (1) & n & = \prod_{i} p_{i}^{a_{i}} \\ (2) & \Rightarrow σ (n) & = \prod_{i} (\sum_{j = 0}^{a_{i}} p_{i}^{j}) \end{aligned}

$\begin{align} n &= \prod_{i} p_i^{a_i} \\ \Rightarrow \sigma(n) &= \prod_{i} (\sum_{j=0}^{a_i} p_i^j) \end{align}$

那么，我们可以通过从小到大来枚举质数 $p_i$ 及其指数 $a_i$ 来搜索。

若当前需要得到的 $S$ 可以表示为一个未搜索过的质数与 $1$ 的和，那么之前的数与这个质数的乘积是一个合法答案。
对于每一个使得 $(p + 1) \times (p + 1) < S$ 的 $p$ ，枚举可能的 $a_i$ ，递归。

因为在第一种情况会把 $a_i = 1$ 的特判掉（这种数出现并且仅出现一次），然后剩下的 $a_i \ge 2$ ，所以至少为 $1 + p + p ^ 2$ 。

最后当一直除到 $1$ 的时候就是答案了qwq

最开始随便用筛法筛素数就行了，复杂度 $O(pass)$ 。。。

总结

对于约数和之类的题，考虑对于 $a_i = 1$ 与 $a_i \ge 2$ 的情况分别考虑就行了，前者只存在一个，后者 $\le \sqrt p$ 。

代码

随便看看实现就行了。。跑的速度还行qwq

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define mp make_pair

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("2234.in", "r", stdin);
	freopen ("2234.out", "w", stdout);
#endif
}

set<int> S;

const int Maxn = sqrt(2e9);
bitset<Maxn + 5> is_prime;

void Math_Init(int maxn) {
	is_prime.set();
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	For (i, 2, maxn) if (is_prime[i])
		for (int j = i * 2; j <= maxn; j += i) is_prime[j] = false;
}

inline bool Judge(int x) {
	if (x <= Maxn) return is_prime[x];
	for (int i = 2; i * i <= x; ++ i)
		if (!(x % i)) return false;
	return true;
}

void Dfs(int x, int cur, int pre) {
	if (x == 1) { S.insert(cur); return ; }
	if (x - 1 > pre && Judge(x - 1))
		S.insert(cur * (x - 1));

	For (p, pre + 1, sqrt(x + .5))
		if (is_prime[p]) {
			int sum = p + 1, here = p;
			while (sum <= x) {
				if (!(x % sum))
					Dfs(x / sum, cur * here, p);
				here *= p; sum += here;
			}
		}
}

int main () {

	File();

	Math_Init(Maxn);

	int x;
	while (~scanf("%d", &x)) {
		S.clear(); Dfs(x, 1, 1);
		printf ("%d\n", (int)S.size());
		for (int cur : S) printf ("%d ", cur); 
		if ((bool)S.size()) putchar ('\n');
	}

	return 0;

}

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本文作者：zjp_shadow
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